Bài 33 trang 109 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 33 trang 109 Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, AA' = a $\sqrt{2}$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BB' và CC'. Mặt phẳng (A'MN) cắt đường thẳng AB, AC tương ứng tại H và K.

a) Chứng minh rằng MN // HK.

b) Tính theo a thể tích khối chóp A'.AHK.

Lời giải:

Bài 33 trang 109 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BB' và CC' nên MN // BC, suy ra MN // (ABC).

Mà (ABC) $\cap$ (A'MN) = HK, suy ra MN // HK.

b) Xét $∆$ A'B'M và $∆$ HBM có

B'M = BM (do M là trung điểm của BB'),

$\hat{A^{'} B^{'} M} = \hat{H B M} = 90 °$ ,

$\hat{A^{'} M B^{'}} = \hat{H M B}$ (đối đỉnh)

Do đó, $∆$ A'B'M = $∆$ HBM.

Suy ra BH = A'B' mà AB = A'B' (do ABB'A' là hình chữ nhật) nên BH = AB = a.

Suy ra AH = 2a.

Xét $∆$ A'C'N và $∆$ KCN có

C'N = CN (do N là trung điểm của CC'),

$\hat{A^{'} C^{'} N} = \hat{K C N} = 90 °$ , $\hat{A^{'} N C^{'}} = \hat{K N C}$ (đối đỉnh)

Do đó, $∆$ A'C'N = $∆$ KCN, suy ra CK = A'C' mà A'C' = AC (do ACC'A' là hình chữ nhật) nên CK = AC = a, suy ra AK = 2a.

Xét tam giác AHK có B là trung điểm AH, C là trung điểm AK nên BC là đường trung bình của tam giác AHK, suy ra HK = 2BC = 2a.

Xét tam giác AHK có AH = AK = HK = 2a nên tam giác AHK đều, suy ra $S_{A H K} = \frac{{(2 a)}^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = a^{2} \sqrt{3}$ .

Khi đó $V_{A^{'} . A H K} = \frac{1}{3} \cdot \cdot S_{A H K} = \frac{1}{3} \cdot a \sqrt{2} \cdot a^{2} \sqrt{3} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$ .

Vậy $V_{A^{'} . A H K} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯

Giải Toán 11 Kết nối tri thức

Bài 33 trang 109 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: