Bài 32 trang 109 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức


Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 32 trang 109 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA (ABCD) và SA = a2. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC, cắt các cạnh SC, SB, SD lần lượt tại M, E, F.

a) Chứng minh AE (SBC).

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và hình chóp S.AEMF.

Lời giải:

Bài 32 trang 109 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Kẻ AM SC tại M, SO AM = I.

Do ABCD là hình vuông nên AC BD.

Vì SA (ABCD) nên SA BD mà AC BD nên BD (SAC), suy ra BD SC.

Trong mặt phẳng (SBD), qua I kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Khi đó (P) = (AEMF).

Do ABCD là hình vuông nên BC AB, SA BC (do SA (ABCD)) nên BC (SAB), suy ra BC AE.

Mặt khác SC (P) nên SC AE mà BC AE nên AE (SBC).

b) Ta có VS.ABCD=13SABCDSA=13a2a2=a323 .

Xét tam giác SAB vuông tại A, có SB=SA2+AB2=2a2+a2=a3 .

Xét tam giác SAD vuông tại A, có SD=SA2+AD2=2a2+a2=a3 .

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC=AB2+BC2=a2+a2=a2 .

Vì SA (ABCD) nên SA AC hay tam giác SAC vuông tại A.

Xét tam giác SAC vuông tại A, có SC=SA2+AC2=2a2+2a2=2a .

Có AE (SBC) nên AE SB.

Xét tam giác SAB vuông tại A, AE là đường cao nên SA2 = SE . SB.

SESB=SESBSB2=SA2SB2=2a23a2=23 .

Xét tam giác SAC vuông tại A, AM là đường cao nên SA2 = SM.SC.

SMSC=SMSCSC2=SA2SC2=2a24a2=12 .

Do ABCD là hình vuông nên DC AD mà SA DC (do SA (ABCD)) nên DC (SAD), suy ra DC AF.

Mặt khác SC (P) nên SC AF mà DC AF nên AF (SCD), suy ra AF SD.

Xét tam giác SAD vuông tại A, AF là đường cao nên SA2 = SF . SD.

SFSD=SFSDSD2=SA2SD2=2a23a2=23 .

Ta có VS.AMFVS.ACD=SASASMSCSFSD=11223=13VS.AMF=13VS.ACD .

VS.AMEVS.ACB=SASASMSCSESB=11223=13VS.AME=13VS.ACB.

Suy ra VS.AMF+VS.AME=13VS.ACD+13VS.ACBVS.AEMF=13VS.ACD+VS.ACB

VS.AEMF=13VS.ABCDVS.AEMF=13a323=a329

Vậy VS.ABCD=a323 ; VS.AEMF=a329 .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: