Lũy thừa của một số hữu tỉ (Lý thuyết Toán lớp 7) - Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Bài 3: Lũy thừa của một số hữu tỉ hay nhất, chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Lũy thừa của một số hữu tỉ (Lý thuyết Toán lớp 7) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Lũy thừa của một số hữu tỉ

1. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Luỹ thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu xⁿ , là tích của n thừa số x.

xⁿ = $\underset{n}{\underbrace{x.x.x\mathrm{.....}x}}$ ( x ∈ ℚ, n ∈ ℕ, n>1)

Ta đọc xⁿ là “x mũ n” hoặc “x luỹ thừa n” hoặc “luỹ thừa bậc n của x”,

Số x được gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

Quy ước: x¹ = x

x⁰ = 1 (x ≠ 0)

Ví dụ: Viết các luỹ thừa sau dưới dạng tích các số:

a) ${\left(\frac{-3}{4}\right)}^2$ ;

b) (0,8)⁴.

Hướng dẫn giải

a) ${\left(\frac{-3}{4}\right)}^2$ = $\left(\frac{-3}{4}\right).\left(\frac{-3}{4}\right)$

b) (0,8)⁴ = 0,8 . 0,8 . 0,8 . 0,8

Chú ý:

Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng $\frac{a}{b}$ (a,b ∈ ℤ, b≠0), ta có:

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\underset{n}{\underbrace{\stackrel{n}{\overbrace{\frac{a.a\mathrm{.....}a}{b.b\mathrm{.....}b}}}}}=\frac{a^n}{b^n}$

Ví dụ: Tính:

a) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^3$;

b) (−0,125)².

Hướng dẫn giải

a) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^3=\frac{1^3}{4^3}=\frac{1}{64}$;

b) ${\left(-0,125\right)}^2={\left(\frac{-1}{8}\right)}^2$

$=\frac{{(-1)}^2}{8^2}=\frac{1}{64}$.

2. Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số

Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ.

x^m . xⁿ = x^m+n

Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của luỹ thừa bị chia trừ đi số mũ của luỹ thừa chia.

x^m : xⁿ = x^{m – n} (x ≠ 0, m ≥ n)

Ví dụ: Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ:

a) (−4,1)⁵ : (−4,1)³

b) ${\left(\frac{3}{5}\right)}^3.{\left(\frac{3}{5}\right)}^4$

Hướng dẫn giải

a) (−4,1)⁵ : (−4,1)³ = (−4,1)^{5 – 3} = (−4,1)² ;

b) ${\left(\frac{3}{5}\right)}^3.{\left(\frac{3}{5}\right)}^4={\left(\frac{3}{5}\right)}^{3+4}={\left(\frac{3}{5}\right)}^7$.

3. Luỹ thừa của luỹ thừa

Khi tính luỹ thừa của một luỹ thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.

(x^m )ⁿ = x^m.n

Ví dụ: Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ:

a) ${\left({\left(-\frac{1}{5}\right)}^2\right)}^3$;

b) ${\left({\left(0,9\right)}^2\right)}^4$.

Hướng dẫn giải

a) ${\left({\left(-\frac{1}{5}\right)}^2\right)}^3={\left(-\frac{1}{5}\right)}^{2.3}={\left(-\frac{1}{5}\right)}^6$;

b) ${\left({\left(0,9\right)}^2\right)}^4={\left(0,9\right)}^{2.4}={\left(0,9\right)}^8$.

Bài tập Lũy thừa của một số hữu tỉ

Bài 1. Viết các số sau dưới dạng luỹ thừa số mũ lớn hơn 1:

$0,36;\frac{1}{9};\frac{-27}{216};\frac{144}{225}$.

Hướng dẫn giải

Ta có 0,36 = 0,6 . 0,6 = (0,6)²;

$\frac{1}{9}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}={\left(\frac{1}{3}\right)}^2$;

$\frac{-27}{216}=\frac{-3}{6}.\frac{-3}{6}.\frac{-3}{6}={\left(\frac{-3}{6}\right)}^3$;

$\frac{144}{225}=\frac{12}{15}.\frac{12}{15}={\left(\frac{12}{15}\right)}^2$.

Bài 2. Tính:

${\left(-\frac{1}{2}\right)}^2;{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3;{\left(-\frac{1}{2}\right)}^4;{\left(-\frac{1}{2}\right)}^5$

Hãy rút ra nhận xét về dấu của luỹ thừa với số mũ chẵn và luỹ thừa với số mũ lẻ của một số hữu tỉ âm.

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{{\left(-1\right)}^2}{2^2}=\frac{1}{4}$;

${\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{{\left(-1\right)}^3}{2^3}=\frac{-1}{8}$;

${\left(-\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{{\left(-1\right)}^4}{2^4}=\frac{1}{16}$;

${\left(-\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{{\left(-1\right)}^5}{2^5}=\frac{-1}{32}$.

Nhận xét:

– Lũy thừa với số mũ chẵn của một số hữu tỉ âm là một số hữu tỉ dương.

– Lũy thừa với số mũ lẻ của một số hữu tỉ âm là một số hữu tỉ âm.

Bài 3. Tìm x:

a) $x:{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{3}{4}$ ;

b) $x.{\left(\frac{-2}{5}\right)}^7={\left(\frac{-2}{5}\right)}^9$;

c) $x:{\left(0,5\right)}^6={\left(\frac{1}{2}\right)}^9$ .

Hướng dẫn giải

a) $x:{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{3}{4}$

$x=\frac{3}{4}.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2$

$x={\left(\frac{3}{4}\right)}^{1+2}$

$x={\left(\frac{3}{4}\right)}^3$

$x=\frac{3^3}{4^3}$

$x=\frac{27}{64}$

Vậy $x=\frac{27}{64}$.

b) $x.{\left(\frac{-2}{5}\right)}^7={\left(\frac{-2}{5}\right)}^9$

$x={\left(\frac{-2}{5}\right)}^9:{\left(\frac{-2}{5}\right)}^7$

$x={\left(\frac{-2}{5}\right)}^{9-7}$

$x={\left(\frac{-2}{5}\right)}^2$

$x=\frac{{\left(-2\right)}^2}{5^2}$

$x=\frac{4}{25}$.

Vậy $x=\frac{4}{25}$.

c) $x:{\left(0,5\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

$x:{\left(\frac{1}{2}\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

$x={\left(\frac{1}{2}\right)}^3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

$x={\left(\frac{1}{2}\right)}^{3+2}$

$x={\left(\frac{1}{2}\right)}^5$

$x=\frac{1^5}{2^5}$

$x=\frac{1}{32}$.

Vậy $x=\frac{1}{32}$.

Bài 4. Tính:

a) $\left(1+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right).{\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)}^2$;

b) $3-{\left(-\frac{6}{7}\right)}^0+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2:2$;

c) $\left({\left(\frac{2}{3}\right)}^4.{\left(\frac{2}{3}\right)}^5\right):{\left(\frac{2}{3}\right)}^6$.

Hướng dẫn giải

b) $3-{\left(-\frac{6}{7}\right)}^0+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2:2$

= $3-1+\frac{1^2}{2^2}:2$

= $3-1+\frac{1}{4}:2$

= $3-1+\frac{1}{4}.\frac{1}{2}$

= $3-1+\frac{1}{8}$

= $2+\frac{1}{8}=\frac{2}{1}+\frac{1}{8}$

= $\frac{16}{8}+\frac{1}{8}=\frac{17}{8}$;

c) $\left({\left(\frac{2}{3}\right)}^4.{\left(\frac{2}{3}\right)}^5\right):{\left(\frac{2}{3}\right)}^6$

= ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{4+5}:{\left(\frac{2}{3}\right)}^6$

= ${\left(\frac{2}{3}\right)}^9:{\left(\frac{2}{3}\right)}^6$

= ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{9-6}$= ${\left(\frac{2}{3}\right)}^3$

$=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$.

Học tốt Lũy thừa của một số hữu tỉ

Các bài học để học tốt Lũy thừa của một số hữu tỉ Toán lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Bài 3: Lũy thừa của một số hữu tỉ

• Giải sbt Toán 7 Bài 3: Lũy thừa của một số hữu tỉ