Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Lý thuyết Toán lớp 7) - Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 6: Tính chất ba đường trung trực của tam giác hay nhất, chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Lý thuyết Toán lớp 7) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Tính chất ba đường trung trực của tam giác

1. Đường trung trực của tam giác

Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác đó.

Chú ý: Mỗi tam giác có ba đường trung trực.

Ví dụ:Trong hình dưới đây, ba đường thẳng d, e, f lần lượt vuông góc với ba đoạn thẳng AB, BC, CA tại cái trung điểm D, E, F. Nên suy ra ba đường thẳng d, e, f là ba đường trung trực của đoạn thẳng AB, BC và CA. Vậy d, e, f là ba đường trung trực của tam giác ABC.

2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Định lí: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây cho O là giao điểm của hai đường trung trực ứng với cạnh AB và AC của tam giác ABC. Chứng minh O cũng nằm trên đường trung trực ứng với cạnh BC và OA = OB = OC.

Chứng minh:

Ta có: O là giao điểm của hai đường trung trực ứng với cạnh AB và AC của tam giác ABC.

Suy ra điểm O nằm trên hai đường trung trực của hai đoạn thẳng AB và AC.

+) Vì O nằm trên đường trung trực ứng với cạnh AB nên O cách đều hai đầu mút A, B. Suy ra: OA = OB (1)

+) Vì O nằm trên đường trung trực ứng với cạnh AC nên O cách đều hai đầu mút A, C. Suy ra: OA = OC (2)

Từ (1) và (2) suy ra OB = OC (= OA).

Do đó O cách đều hai đầu mút B, C của đoạn thẳng BC.

Từ đó ta suy ra được O nằm trên đường trung trực ứng với cạnh BC.

Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 1:Xác định điểm O cách đều ba đỉnh của một tam giác vuông và nhận xét vị trí của điểm O trong trường hợp này.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại B.

Điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác nên theo định lí ta suy ra được O là giao của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Sau khi vẽ được hình như trên ta nhận xét được O cũng chính là trung điểm của cạnh AC.

Bài 2: Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác ABC. Hãy dùng compa vẽ đường tròn tâm O bán kính OA và cho biết đường tròn này có đi qua hai điểm B và C hay không?

Hướng dẫn giải

Ta có: O là giao điểm của hai đường trung trực ứng với cạnh AB và AC của tam giác ABC nên suy O nằm trên hai đường trung trực của hai đoạn thẳng AB và AC

+) Vì O nằm trên đường trung trực ứng với cạnh AB nên O cách đều hai đầu mút A, B. Suy ra: OA = OB (1)

+) Vì O nằm trên đường trung trực ứng với cạnh AC nên O cách đều hai đầu mút A, C. Suy ra: OA = OC (2)

Từ (1) và (2) suy ra OB = OC (= OA).

Vậy suy ra đường tròn tâm O phải đi qua hai điểm B và C.

Bài 3: Cho tam giác ABC có góc A bằng 120°. Các đường trung trực của AB và AC lần lượt cắt BC tại M và N. Tính số đo góc MAN.

Hướng dẫn giải

Ta có M, N lần lượt nằm trên đường trung trực ứng với hai cạnh AB và AC nên suy ra:

MA = MB và NA = NC.

+) Vì MA = MB nên suy ra tam giác MAB cân tại A. Từ đó ta có

$\overbrace{MAB}=\overbrace{MBA}$ (1)

+) Vì NA = NC nên suy ra tam giác NAC cân tại A. Từ đó ta có

$\overbrace{NAC}=\overbrace{NCA}$ (2)

Xét tam giác ABC có:

$\overbrace{BAC}+\overbrace{ACB}+\overbrace{ABC}={180}^o$

$\Rightarrow {120}^o+\overbrace{ACB}+\overbrace{ABC}={180}^o$

$\iff \overbrace{ACB}+\overbrace{ABC}={180}^o-{120}^o={60}^o\left(3\right)$

Thay (1) và (2) vào (3) ta suy ra được

$\iff \overbrace{MBA}+\overbrace{NAC}={60}^o$ (4)

Lại có: $\overbrace{BAC}=\overbrace{MBA}+\overbrace{MAN}+\overbrace{NAC}={120}^o$

$\iff \overbrace{MAN}={120}^o-(\overbrace{MBA}+\overbrace{NAC})$ (5)

Thay (4) vào (5) ta có: $\overbrace{MAN}={120}^o-{60}^o={60}^o$

Vậy $\overbrace{MAN}={60}^o$

Học tốt Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Các bài học để học tốt Tính chất ba đường trung trực của tam giác Toán lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Bài 6: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

• Giải sbt Toán 7 Bài 6: Tính chất ba đường trung trực của tam giác