Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) - Chân trời sáng tạo
Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 5: Đường trung trực của một đoạn thẳng hay nhất, chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.
Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) - Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Đường trung trực của một đoạn thẳng
1. Đường trung trực của một đoạn thẳng
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đó.
Ví dụ:Trong hình dưới đây, đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB vì d vuông góc với AB lại trung điểm M của AB.
2. Tính chất của đường trung trực
Định lí 1: Điểm nằm trên trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây có d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Với điểm C d thì ta suy ra được CA = CB.
Định lí 2: Điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây có d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Ta có: CA = CB suy ra điểm C thuộc đường thẳng d.
Chú ý: Các bước dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB bằng thước thẳng và compa:
(1) Khi vẽ hai cung tròn trên, ta phải lấy bán kính lớn hơn AB thì hai cung tròn đó mới có hai điểm chung.
Ví dụ:
+ Lấy A làm tâm vẽ cung tròn bán kính lớn hơn AB (như hình vẽ dưới đây)
+ Lấy B làm tâm vẽ cung tròn có bán kính bằng bán kính ở trên (như hình vẽ dưới đây)
+ Hai cung tròn này cắt nhau tại M và N (như hình vẽ dưới đây). Dùng thức vẽ đường thẳng MN. Khi đó MN là đường trung trực đoạn thẳng AB.
Chứng minh:
Hai cung tròn có cùng bán kính và cắt nhau tại M và N nên ta suy ra được MA = MB = NA = NB.
Khi đó, M và N là hai điểm cách đều hai đầu mút A và B của đoạn thẳng AB nên suy M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (Theo định lí 2).
Vậy suy ra MN là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
(2) Giao điểm của đường thẳng MN với đoạn thẳng AB là trung điểm của đoạn thẳng AB nên cách vẽ trên cũng là cách dựng trung điểm của đoạn thẳng bằng thước và compa.
Chứng minh: Từ chú ý trên ta chứng minh được MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB khi đó MN vuông góc với AB tại trung điểm của AB. Nên suy ra MN giao với AB tại trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài tập Đường trung trực của một đoạn thẳng
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh AB lấy các điểm M, N và trên cạnh DC lấy các điểm E, F. Cho biết AM = MN = NB và ME, NF đều song song với AD. Tìm đường trung trực của mỗi đoạn thẳng AN và MB.
Hướng dẫn giải
Xét hình chữ nhật ABCD có AB vuông góc với AD.
Mà ME và NF đều song song với AD nên suy ra ME và NF đều vuông góc với AB.
+) Xét ME vuông góc với đoạn thẳng AB nên cũng vuông góc với đoạn thẳng AN tại trung điểm M của AN nên ME là đường trung trực của đoạn thẳng AM.
+) Xét NF vuông góc với đoạn thẳng AB nên cũng vuông góc với đoạn thẳng MB tại trung điểm N của MB nên NF là đường trung trực của đoạn thẳng MB.
Bài 2: Trong hình vẽ dưới đây, cho d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc đường thẳng d, MA = 7 và MB = m + 3. Tính m.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí 1, với điểm M nằm trên đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB thì M cách đều hai đầu mút A, B nên suy ra
Điểm M nằm trên đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB thì M cách đều hai đầu mút A, B nên suy ra
MA = MB
Hay 7 = m + 3
Do đó m = 7 - 3 = 4
Vây giá trị của m là 4.
Bài 3: Cho C, D là hai điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. CD giao AB tại E. Chứng minh hai tam giác CAD và CBD bằng nhau.
Hướng dẫn giải
Hai điểm C, D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên lần lượt cách đều hai đầu mút A và B.
Suy ra CA = CB và DA = DB
Xét hai tam giác CAD và CBD có
CA = CB (cmt)
DA = DB (cmt)
CD: cạnh chung
Suy ra ∆CAD = ∆CBD (c.c.c).
Học tốt Đường trung trực của một đoạn thẳng
Các bài học để học tốt Đường trung trực của một đoạn thẳng Toán lớp 7 hay khác:
