Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng AC và BC' bằng

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 19 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng AC và BC' bằng

A. 90°.

B. 30°.

C. 60°.

D. 45°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên các mặt là hình vuông.

Có AA' // CC' và AA' = CC' (vì chúng cùng song song và bằng BB') nên ACC'A' là hình bình hành, suy ra AC // A'C'.

Khi đó góc giữa hai đường thẳng AC và BC' bằng góc giữa hai đường thẳng A'C' và BC', mà (A'C', BC') = $\hat{B C^{'} A^{'}}$ .

Xét tam giác BB'C' vuông tại B', có $B C^{'} = \sqrt{B {B^{'}}^{2} + B^{'} {C^{'}}^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác A'B'C' vuông tại B', có $A^{'} C^{'} = \sqrt{A^{'} {B^{'}}^{2} + B^{'} {C^{'}}^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác BB'A' vuông tại B', có $B A^{'} = \sqrt{B {B^{'}}^{2} + B^{'} {A^{'}}^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác A'BC' có A'B = BC' = A'C' = a $\sqrt{2}$ nên tam giác A'BC' đều, suy ra $\hat{B C^{'} A^{'}} = 60 °$ .

Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và BC' bằng 60°.

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác: