Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy


Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD), tam giác SAB đều, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAC) bằng

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 20 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD), tam giác SAB đều, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAC) bằng

A. a305 .

B. a3010 .

C. a610 .

D. a65 .

Lời giải:

Đáp án đúng là: E. a2114 .

Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy

Vì tam giác SAB đều, H là trung điểm của AB nên SH là đường cao hay SH AB.

Do (SAB) (ABCD); (SAB) (ABCD) = AB mà SH AB nên SH (ABCD), suy ra SH AC.

Gọi N là trung điểm của AD.

Xét tam giác ABD có H là trung điểm của AB, N là trung điểm của AD nên HN là đường trung bình của tam giác ABD, suy ra HN // BD.

Do ABCD là hình vuông nên AC BD mà HN // BD nên HN AC.

Vì HN AC và SH AC nên AC (SHN), suy ra (SAC) (SHN).

Gọi AC HN = I, kẻ HK SI tại K.

Vì (SAC) (SHN), (SAC) (SHN) = SI mà HK SI nên HK (SAC).

Do đó d(H, (SAC)) = HK.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của BD.

Xét tam giác ABD vuông tại A, có BD=AB2+AD2=a2+a2=a2 .

Vì O là trung điểm của BD nên BO = BD2= a22.

Xét tam giác ABO có H là trung điểm của AB, HI // BO (do HN //BD) nên I là trung điểm của AO.

Vì I là trung điểm của AO, H là trung điểm của AB nên HI là đường trung bình của tam giác ABO, suy ra HI=BO2=a24 .

Vì tam giác SAB là tam giác đều cạnh a, SH là đường cao nên SH=a32 .

Vì SH (ABCD) nên SH HI hay tam giác SHI vuông tại H.

Xét tam giác SHI vuông tại H, HK là đường cao, có:

1HK2=1SH2+1HI2=43a2+162a2=283a2HK=a2114.

Vậy d(H, (SAC)) = a2114 .

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: