Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = acăn2


Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = a.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 40 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = a2.

a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.

Lời giải:

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = acăn2

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO (ABCD).

Xét tam giác vuông ABC vuông tại B, có AC = AB2+BC2=a2+a2=a2.

Vì O là trung điểm của AC nên AO = OC = a22.

Vì SO (ABCD) nên SO AC.

Xét tam giác SOA vuông tại O, có SO = SA2OA2=2a2a22=a62.

Khi đó VS.ABCD=13SABCDSO=13a2a62=a366.

Vậy VS.ABCD=a366.

b) Có ABCD là hình vuông nên AD // BC suy ra AD // (SBC).

Khi đó d(AD, SB) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)).

Đường thẳng AO cắt mặt phẳng (SBC) tại C và O là trung điểm của AC nên

d(A, (SBC)) = 2d(O, (SBC)).

Kẻ OM BC tại M, OH SM tại H.

Vì BC OM, BC SO (do SO (ABCD)) nên BC (SOM), suy ra (SBC) (SOM).

Mà OH SM nên OH (SBC). Do đó d(O, (SBC)) = OH.

Có OM // AB (vì cùng vuông góc với BC).

Xét tam giác ABC có O là trung điểm của AC, OM // AB nên M là trung điểm của BC, suy ra OM là đường trung bình. Do đó OM = AB2=a2.

Vì SO (ABCD) nên SO OM hay tam giác SOM vuông tại O.

Xét tam giác SOM vuông tại O, OH là đường cao có:

1OH2=1SO2+1OM2=46a2+4a2=143a2OH=a4214.

Vậy d(AD, SB) = 2OH = a427.

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: