Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a

Cho hình chópcó đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA bằng a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC là

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 21 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA bằng a $\sqrt{2}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC là

A. $\frac{a \sqrt{6}}{4}$ .

B. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

C. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a

Gọi O là giao điểm của AC, BD.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO $⊥$ (ABCD), suy ra SO $⊥$ BD.

Do ABCD là hình vuông nên AC $⊥$ BD.

Vì SO $⊥$ BD và AC $⊥$ BD nên BD $⊥$ (SAC).

Kẻ OE $⊥$ SC tại E. Vì BD $⊥$ (SAC) nên BD $⊥$ OE. Do đó d(BD, SC) = OE.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, suy ra AO = OC = $\frac{A C}{2}$ = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Vì SO $⊥$ (ABCD) nên SO $⊥$ AC.

Xét tam giác SOA vuông tại O, có SO = $\sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{2 a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Xét tam giác SOC vuông tại O, có $\frac{1}{O E^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} = \frac{4}{6 a^{2}} + \frac{4}{2 a^{2}} = \frac{8}{3 a^{2}}$

$\Rightarrow O E = \frac{a \sqrt{6}}{4}$ .

Vậy d(BD, SC) = $\frac{a \sqrt{6}}{4}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯