Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau y = 3^x + 3^-x trên đoạn [−1; 2]

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

Giải SBT Toán 12 Cánh diều Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 44 trang 20 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) y = 3^x + 3^-x trên đoạn [−1; 2];

b) y = x. trên đoạn [0; 1];

c) y = ln(x² + 2x + 3) trên đoạn [−2; 3];

d) y = −3x + 5 + x.lnx trên đoạn [1; 3].

Lời giải:

a) y = 3^x + 3^-x trên đoạn [−1; 2].

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = 3^x + 3^-x ⇒y' =3^x.ln 3 − 3^-x.ln 3.

Trên khoảng (−1; 2), y' = 0 khi x = 0.

Ta tính được: y(−1) = $\frac{10}{3}$ , y(0) = 2, y(2) = $\frac{82}{9}$ .

Vậy $\max_{[- 1; 2]}$ y = $\frac{82}{9}$ tại x = 2, $\min_{[- 1; 2]}$ y = 2 tại x = 0.

b) y = x. $e^{- 2 x^{2}}$ trên đoạn [0;1].

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = x. $e^{- 2 x^{2}}$ ⇒y' = $e^{- 2 x^{2}}$ (1 − 4x²).

Trên khoảng (0; 1), y' = 0 khi x = $\frac{1}{2}$ .

Ta tính được các giá trị: y(0) = 0, y $(\frac{1}{2})$ = $\frac{1}{2 \sqrt{e}}$ , y(1) = $\frac{1}{e^{2}}$ .

Vậy $\max_{[0; 1]}$ y = $\frac{1}{2 \sqrt{e}}$ tại x = $\frac{1}{2}$ , $\min_{[0; 1]}$ y = 0 tại x = 0.

c) y = ln(x² + 2x + 3) trên đoạn [−2; 3].

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = ln(x² + 2x + 3) ⇒y' = $\frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x + 3}$ .

Trên khoảng (−2; 3), y' = 0 khi x = −1.

Ta tính được: y(−2) = ln3, y(−1) = ln2, y(3) = ln18.

Vậy $\max_{[- 2; 3]}$ y = ln18 tại x = 3, $\min_{[- 2; 3]}$ y = ln2 tại x = −1.

d) y = −3x + 5 + x.lnx trên đoạn [1; 3].

Tập xác định: D = (0; +∞).

Ta có: y = −3x + 5 + x.lnx ⇒y' = −2 + lnx.

y' = 0 ⇔ −2 + lnx = 0 ⇔ x = e² ∉ (1; 3).

Ta tính được: y(1) = 2, y(3) = 3ln3 – 4.

Vậy $\max_{[1; 3]}$ y = 2 tại x = 1, $\min_{[1; 3]}$ y = 3ln 3 – 4 tại x = 3.

Lời giải SBT Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay khác: