Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số y = x^3 – 2x^2 – 7x + 1 trên đoạn [−3; 2]

❮ Bài trước Bài sau ❯

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số:

Giải SBT Toán 12 Cánh diều Bài tập cuối chương 1

Bài 107 trang 44 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số:

a) y = x³ – 2x² – 7x + 1 trên đoạn [−3; 2];

b) y = $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 3}$ trên đoạn [−1; 3];

c) y = (x² – 2x + 2)e^x trên đoạn [−2; 1];

d) y = $\ln \sqrt{x^{2} + 1}$ trên đoạn [- $\sqrt{3}$ ;2 $\sqrt{2}$ ];

e) y = x + cos2x trên đoạn $[\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]$ .

Lời giải:

a) y = x³ – 2x² – 7x + 1 trên đoạn [−3; 2]

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = x³ – 2x² – 7x + 1

⇒ y' = 3x² – 4x – 7.

y' = 0 ⇔ 3x² – 4x – 7 = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = $\frac{7}{3}$ .

Có −1 ∈ (−3; 2) nên ta có các giá trị: y(−3) = −23, y(−1) = 5, y(2) = −13.

Vậy $\min_{[- 3; 2]}$ y = −23 tại x = −3, $\max_{[- 3; 2]}$ y = 5 tại x = −1.

b) y = $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 3}$ trên đoạn [−1; 3]

Tập xác định: D = ℝ\{−3}.

Ta có: y = $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 3}$ ⇒ y' = $\frac{x^{2} + 6 x + 8}{{(x + 3)}^{2}}$

y' = 0 ⇔ $\frac{x^{2} + 6 x + 8}{{(x + 3)}^{2}}$ = 0 ⇔ x = −2 hoặc x = −4.

Có −2, −4 ∉ (−1; 3) nên ta có các giá trị: y(−1) = $\frac{1}{2}$ , y(3) = $\frac{25}{6}$ .

Vậy $\min_{[- 1; 3]}$ y = $\frac{1}{2}$ tại x = −1, $\max_{[- 1; 3]}$ y = $\frac{25}{6}$ tại x = 3.

c) y = (x² – 2x + 2)e^x trên đoạn [−2; 1]

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = (x² – 2x + 2)e^x⇒ y' = x².e^x

y' = 0 ⇔ x².e^x = 0 ⇔ x = 0.

Có 0 ∈ (−2; 1) nên ta có các giá trị: y(−2) = $\frac{10}{e^{2}}$ , y(0) = 2, y(1) = e.

Vậy $\min_{[- 2; 1]}$ y = $\frac{10}{e^{2}}$ tại x = −2, $\max_{[- 2; 1]}$ y = e tại x = 1.

d) y = $\ln \sqrt{x^{2} + 1}$ trên đoạn [- $\sqrt{3}$ ;2 $\sqrt{2}$ ]

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = $\ln \sqrt{x^{2} + 1}$ ⇒ y' = $\frac{x}{x^{2} + 1}$

y' = 0 ⇔ $\frac{x}{x^{2} + 1}$ = 0 ⇔ x = 0.

Có 0 ∈ $(- \sqrt{3}; 2 \sqrt{2})$ nên ta tính được các giá trị: y( $- \sqrt{3}$ ) = ln2, y(0) = 0, y( $2 \sqrt{2}$ ) = ln3.

Vậy $\min_{[- \sqrt{3}; 2 \sqrt{2}]}$ y = 0 tại x = 0, $\max_{[- \sqrt{3}; 2 \sqrt{2}]}$ y = ln3 tại x = $2 \sqrt{2}$ .

e) y = x + cos2x trên đoạn $[\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]$ .

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = x + cos2x ⇒ y' = 1 – 2sin2x

y' = 0 ⇔ 1 – 2sin2x = 0 ⇔ x = $\frac{π}{12} + k π$ hoặc x = $\frac{5 π}{12} + k π$ (k ∈ ℤ).

Vì x ∈ $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2})$ nên x = $\frac{5 π}{12}$ , ta tính được các giá trị:

y $(\frac{π}{4})$ = $\frac{π}{4}$ , y $(\frac{π}{2})$ = $\frac{π}{2}$ -1 , y $(\frac{5 π}{12})$ = $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy $\min_{[\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]}$ y = $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ tại x = $\frac{5 π}{12}$ , $\max_{[\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]}$ y = $\frac{π}{4}$ tại x = $\frac{π}{4}$ .

Lời giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 1 hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯