Các dạng bài tập Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân - Toán lớp 11

Các dạng bài tập Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân

Với Các dạng bài tập Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Các dạng bài tập Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân

Phương pháp quy nạp toán học

Dãy số

Cấp số cộng

Cấp số nhân

Cách xác định số hạng của dãy số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số u: ¥* → i; n → u(n)

Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên n:

u(1); u(2); u(3); ....u(n);....

♦ Ta kí hiệu u(n) bởi u_n và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, u₁ được gọi là số hạng đầu của dãy số.

♦ Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển u₁,u₂,u₃…..u_n,.... hoặc dạng rút gọn (u_n).

2. Người ta thường cho dãy số theo các cách:

♦ Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó

* Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: -1, 3, 19, 53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.

Đáp án và hướng dẫn giải

Xét dãy (u_n) có dạng: u_n=an³+bn²+cn+d

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Giải hệ trên ta tìm được: a = 1 ; b = 0 ; c = -3 ; d = 1

⇒ u_n=n³-3n+1 là một quy luật .

Số hạng thứ 10: u₁₀=971.

Bài 2: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

1. Viết năm số hạng đầu của dãy;

2. Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

Đáp án và hướng dẫn giải

Ta có năm số hạng đầu của dãy

Ta có:

do đó u_n nguyên khi và chỉ khi Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án nguyên hay n+1 là ước của 5. Điều đó xảy ra khi n+1=5 ⇒ n = 4

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u₄=7.

Bài 3: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

1. Viết năm số hạng đầu của dãy;

2. Chứng minh rằng u_n=u₄;

Đáp án và hướng dẫn giải

1. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

u₁=1;u₂=2u₁+3=5;u₃=2u₂+3=13;u₄=29; u₅=61.

2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

* Với n = 1 ⇒ u₄=1 ⇒ bài toán đúng với n = 1

* Giả sử u_k=2^k+1-3 , ta chứng minh u_(k+1)=2^k+2-3

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:

u_k+1=2u_k+3=2(2^k+1-3)=2^k+2-3 (đpcm).

Cách tìm công thức của số hạng tổng quát

A. Phương pháp giải

• Nếu u_n có dạng u_n = a₁ + a₂ + ... + a_k + .. + a_n thì biến đổi a_k thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn u_n .

• Nếu dãy số (u_n) được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính u₁; u₂; ... ). Từ đó dự đoán công thức tính un theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu:

u_{n + 1} − u_n dựa vào đó để tìm công thức tính u_n theo n.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 4; 8; 12; 16; 20; 24;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. u_n = 4n B. u_n = 2n+ 2 C. u_n = 2n+ 5 D. u_n = 4n+ 2

Hướng dẫn giải:

Ta có:

4 = 4.1 8 = 4.2 12 = 4.3

16 = 4.4 20 = 4.5 24 = 4.6

Suy ra số hạng tổng quát u_n = 4n.

Chọn A .

Ví dụ 2: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. u_n = 7n + 7. B. u_n = 7n .

C. u_n = 7n + 1. D. u_n : Không viết được dưới dạng công thức.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

8 = 7 . 1 + 1 15 = 7 . 2 + 1 22 = 7 . 3 + 1

29 = 7 . 4 + 1 36 = 7 . 5 + 1

Suy ra số hạng tổng quát u_n = 7n + 1.

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: Cách tìm công thức của số hạng tổng quát cực hay có lời giải .Số hạng tổng quát của dãy số này là:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là: Cách tìm công thức của số hạng tổng quát cực hay có lời giải

Chọn B.

Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng

A. Phương pháp giải

* Để chứng minh dãy số (u_n) là một cấp số cộng, ta xét A = u_n+1 − u_n

Nếu A là hằng số thì (u_n) là một cấp số cộng với công sai d = A.

Nếu A phụ thuộc vào n thì (u_n) không là cấp số cộng.

* Ngoài ra; để chứng minh dãy số (u_n) không là cấp số cộng ta có thể chỉ ra: tồn tại số nguyên dương k sao cho: u_k+1 − u_k ≠ u_k − u_k−1

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh dãy số (u_n) với u_n = 17n + 2 là cấp số cộng

Hướng dẫn giải:

Ta có: u_n+1 = 17(n + 1) + 2 = 17n + 19

=> Hiệu: u_n+1 – u_n = (17n + 19) − (17n + 2) = 17

Suy ra: (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 17.

Ví dụ 2: Chứng minh dãy số (u_n) với u_n = 10 − 5n là cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Ta có: u_n+1 = 10 − 5(n+1)= 5 − 5n.

Xét hiệu: u_n+1 − u_n = (5 − 5n) − (10 − 5n) = −5

=> (u_n) là một cấp số cộng với công sai d = −5.

Ví dụ 3: Cho dãy số (u_n) với u_n = 2n + 3. Chứng minh rằng dãy số (u_n) không phải là cấp số cộng .

Hướng dẫn giải:

Ta có: u_n+1 = 2ⁿ⁺¹ + 3

Xét hiệu: u_n+1 − u_n = (2ⁿ⁺¹ + 3) − (2ⁿ + 1)= 2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ

=> (u_n+1 − u_n) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n. Nên dãy số (u_n) không là cấp số cộng.

Ví dụ 4: Cho dãy số (u_n) với Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng cực hay có lời giải . Chứng minh rằng (u_n) không là cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Ta có: Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng cực hay có lời giải

Xét hiệu: Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng cực hay có lời giải

=> (u_n+1 − u_n) còn phụ thuộc vào n nên dãy số (u_n) không là cấp số cộng.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 11

Các dạng bài tập Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân - Toán lớp 11