X

Lý thuyết Toán 7 Cánh diều

Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác hay nhất, chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều

Lý thuyết Tính chất ba đường trung trực của tam giác

1. Đường trung trực của tam giác

– Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đường trung trực của tam giác đó.

Chú ý: Đường trung trực của một tam giác có thể không đi qua đỉnh nào của tam giác.

Ví dụ: Quan sát hình vẽ và chỉ ra các đường trung trực của tam giác (nếu có):

Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Hướng dẫn giải

Đường thẳng a vuông góc với AC tại trung điểm của cạnh đó nên đường thẳng a là trung trực của ∆ABC.

Đường thẳng b đi trung điểm của BC nhưng không vuông góc với BC tại trung điểm của cạnh đó nên đường thẳng b không là đường trung trực của ∆ABC.

Đường thẳng c ⊥ AB nhưng không vuông góc tại trung điểm của cạnh đó nên đường thẳng c không là đường trung trực của ∆ABC.

– Nhận xét: Mỗi tam giác có 3 đường trung trực.

2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

– Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm.

Nhận xét:

+ Để xác định giao điểm ba đường trung trực của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung trực bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

+ Giao điểm ba đường trung trực của một tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Do đó, trong một tam giác ba đường trung trực cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.

Ví dụ: Cho ∆ABC có ba đường trung trực của AB, BC, AC cắt nhau tại O, tương ứng cắt AB, BC, CA lần lượt tại H, K, E. Chứng minh rằng: BK < OA < OC + BC.

Hướng dẫn giải

Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Vì O là giao điểm của ba đường trung trực trong ∆ABC nên OA = OB = OC.

Xét ∆OBK vuông tại K nên OB > BK (vì trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất).(1)

∆OBC có OB < OC + BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Mà OA = OB

Do đó OA < OC + BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra BK < OA < OC + BC

Vậy BK < OA < OC + BC.

Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 1. Cho ∆ABC vuông tại A, có C^=40° và đường trung trực của BC cắt AC tại M. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại N. Tính số đo các góc của ∆BMN.

Hướng dẫn giải

Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Theo bài ta có: M nằm trên đường trung trực của BC nên BM = CM.

Suy ra ∆BMC cân tại M nên C^=CBM^=40°

Vì MN // BC nên NMB^=CBM^=40° (hai góc so le trong)

Xét ∆ABC vuông tại A có:

ABC^+C^=90°(tổng của hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°)

Suy ra ABC^=90°C^=90°40°=50°

Ta lại có NBM^+MBC^=NBC^=ABC^

Suy ra NBM^=ABC^MBC^=50°40°=10°.

Do MN // BC nên MNB^+NBC^=180° (hai góc trong cùng phía)

Suy ra MNB^=180°NBC^=180°50°=130°.

Vậy ∆BMN có MNB^=130° ;NBM^=10° ; NMB^=40° .

Bài 2. Cho ∆ABC có D là giao điểm các đường trung trực của tam giác. Kẻ DE ⊥ AC tại E; DF ⊥ AB tại F và DM ⊥ BC tại M. Chứng minh rằng DA > AB + AC +BC6 .

Hướng dẫn giải

Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Ta có D là giao điểm các đường trung trực của ∆ABC và DE ⊥ AC tại E; DF ⊥ AB tại F và DM ⊥ BC tại M.

Suy ra DF, DM, DE lần lượt là đường trung trực của AB, BC, AC.

Do đó F, M, E lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC

Suy ra AF=12AB, BM = 12BC, CE = 12AC

∆ADF vuông tại F nên DA > AF (vì cạnh huyền lớn nhất)

Suy ra DA > 12AB (1)

∆DBM vuông tại M nên DB > BM (vì cạnh huyền lớn nhất)

Suy ra DB > 12BC (2)

∆CDE vuông tại E nên DC > EC (vì cạnh huyền lớn nhất)

Suy ra DC > 12AC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra DA + DB + DC > 12AB+12BC+12AC

Hay DA + DB + DC > 12(AB + BC+AC)

Vì D là giao điểm của các đường trung trực trong ∆ABC nên DA = DB = DC.

Do đó DA + DB + DC > 12(AB + BC+AC)

Hay DA + DA + DA > 12(AB + BC+AC)

Suy ra 3DA > 12(AB + BC+AC).

Suy ra DA > AB + BC +AC6.

Vậy DA > AB + AC +BC6 .

Bài 3. Cho ∆ABC có góc A là góc tù, gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác sao cho BOC^=84° . Tính BAC^ .

Hướng dẫn giải

Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Theo bài ta có: O là giao điểm các đường trung trực của ∆ABC.

Do đó OA = OB = OC (tính chất đường trung trực trong tam giác).

• Xét ∆OAB có OA = OB nên ∆OAB cân tại O.

Suy ra OBA^=OAB^ (tính chất tam giác cân)

∆OAB có BOA^+OBA^+OAB^=180° (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra BOA^=180°ABO^BAO^

OBA^=OAB^ (chứng minh trên)

Nên BOA^=180°2BAO^ (1)

• Xét ∆OAC có OA = OC nên ∆OAC cân tại O.

Suy ra OCA^=OAC^ (tính chất tam giác cân).

∆OAC có COA^+OCA^+OAC^=180° (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra COA^=180°ACO^CAO^

OCA^=OAC^ (chứng minh trên)

Suy ra COA^=180°2CAO^ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

BOA^+COA^=180°2BAO^+180°2CAO^

Hay BOC^=360°2(BAO^+CAO^)

Suy ra 84°=360°2BAC^

Suy ra 2BAC^=360°84°=276°

Suy ra BAC^=276°:2=138°

Vậy BAC^=138° .

Học tốt Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Các bài học để học tốt Tính chất ba đường trung trực của tam giác Toán lớp 7 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: