Đường vuông góc và đường xiên (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên hay nhất, chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Đường vuông góc và đường xiên (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều

Lý thuyết Đường vuông góc và đường xiên

1. Đường vuông góc và đường xiên

Trong hình vẽ trên, ta gọi:

– Đoạn thẳng AH là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d;

– Điểm H là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d;

– Độ dài đoạn thẳng AH là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d;

– Đoạn thẳng AB là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

Ví dụ: Quan sát hình vẽ dưới đây:

Hãy cho biết:

a) Hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d; khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD bằng độ dài đoạn thẳng nào?

b) Đoạn thẳng nào là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d?

Hướng dẫn giải

a) Vì AH vuông góc với đường thẳng d tại H do đó:

Hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là điểm H.

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD là AH = 5cm (do BD ≡ d).

b) Các đoạn thẳng AB; AC; AD là các đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d.

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

– Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Ví dụ: Qua điểm O nằm ngoài đường thẳng a kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng a và cắt a tại B. Lấy hai điểm A và C nằm trên đường thẳng a và nằm về hai phía so với điểm B sao cho $\widehat{\text{OAB}}=60°$ ; $\widehat{\text{OCB}}=45°.$ So sánh độ dài các đoạn thẳng OA; OB; OC.

Hướng dẫn giải

Vì OB là đường vuông góc kẻ từ điểm O đến đường thẳng a và OA; OC là các đường xiên kẻ từ O đến đường thẳng a nên OB là đoạn thẳng ngắn nhất

Do đó OB < OA; OB < OC (1)

Xét ∆OAC có $\widehat{\text{OAC}}>\widehat{\text{OCA}}$(vì 60° > 45°)

Suy ra: OC > OA (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OB < OA < OC.

Vậy OB < OA < OC.

Bài tập Đường vuông góc và đường xiên

Bài 1. Trong mỗi hình sau, chỉ ra các đường vuông góc, các đường xiên kẻ từ điểm C (hình a) và từ điểm D (hình b) (nếu có):

Hướng dẫn giải

– Quan sát hình a ta có:

Đường vuông góc kẻ từ điểm C tới Ox là CA vì CA ⊥ Ox tại A;

Đường vuông góc kẻ từ điểm C tới Oy là CB vì CB ⊥ Oy tại B;

Đoạn thẳng CO là đường xiên kẻ từ điểm C đến tia Ox và tia Oy.

– Quan sát hình b ta có:

Đường vuông góc kẻ từ điểm D tới BA là DA vì DA ⊥ AB tại A;

Đường vuông góc kẻ từ điểm D tới BC là DN vì DN ⊥ BC tại N;

Đoạn thẳng DM là đường xiên kẻ từ D tới AB;

Đoạn thẳng DC là đường xiên kẻ từ D tới BC;

Đoạn thẳng DB là đường xiên kẻ từ D tới AB và BC.

Bài 2. Cho tam giác ABC có AH, BK, CL là các đường cao kẻ từ các đỉnh tương ứng. Chứng minh rằng: AH + BK + CL < AB + BC + CA.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có:

• AH là đường vuông góc;

• AB, AC là các đường xiên kẻ từ A tới BC.

Do đó $\left(\begin{array}{c}\text{AH < AB}\\ \text{AH < AC}\end{array}\right)$ nên AH + AH < AB + AC

Hay 2AH < AB + AC

Suy ra AH < $\frac{1}{2}(\text{AB + AC)}$ (1)

+) Ta có BK là đường vuông góc và BA, BC là các đường xiên kẻ từ B tới AC.

Do đó $\left(\begin{array}{c}\text{BK < BA}\\ \text{BK < BC}\end{array}\right)$ nên 2BK < BA + BC

Suy ra BK < $\frac{1}{2}(BA\text{+ BC)}$ (2)

+) Ta có CL là đường vuông góc và CB, CA là các đường xiên kẻ từ B tới AB.

Do đó $\left(\begin{array}{c}\text{CL < CA}\\ \text{CL < CB}\end{array}\right)$ nên 2CL < CA + CB

Suy ra CL < $\frac{1}{2}(CA\text{+ CB)}$ (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra:

AH + BK + CL < $\frac{1}{2}(\text{AB + AC)}$ + $\frac{1}{2}(BA\text{+ BC)}$ + $\frac{1}{2}(CA\text{+ CB)}$

Suy ra AH + BK + CL < $\frac{1}{2}\text{AB +}\frac{1}{2}\text{AC +}\frac{1}{2}\text{BA +}\frac{1}{2}\text{BC +}\frac{1}{2}\text{CA +}\frac{1}{2}\text{CB}$

AH + BK + CL < $\left(\frac{1}{2}\text{AB +}\frac{1}{2}\text{BA}\right)\text{+}\left(\frac{1}{2}\text{BC +}\frac{1}{2}\text{CB}\right)\text{+}\left(\frac{1}{2}\text{AC +}\frac{1}{2}\text{CA}\right)$

Hay AH + BK + CL < AB + BC + CA.

Vậy AH + BK + CL < AB + BC + CA.

Bài 3.Cho ∆ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C trên đường thẳng BM. So sánh BD + BE và 2AB.

Hướng dẫn giải

Vì D, E lần lượt là hình chiếu của A và C trên đường thẳng BM

Nên AD ⊥ BM tại D suy ra $\widehat{\text{ADM}}=90°$

Và CE ⊥ BM tại E suy ra $\widehat{\text{CEM}}=90°$

Xét ∆ADM và ∆CEM có:

$\widehat{ADM}=\widehat{CEM}\left(=90°\right),$

AM = CM (vì M là trung điểm của AC),

$\widehat{\text{AMD}}=\widehat{\text{CME}}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra ∆ADM = ∆CEM (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó DM = EM (hai cạnh tương ứng)

Ta có: BD + BE

= BD + (BM + ME)

= (BD + ME) + BM

Mà DM = ME (chứng minh trên)

Nên BD + BE = (BD + DM) + BM

= BM + BM = 2BM (1)

Vì ∆ABM có $\widehat{\text{BAM}}=90°$ (do DABC vuông tại A) nên ∆ABM vuông tại A.

Suy ra BM > AB (vì trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất).

Hay 2BM > 2AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra BD + BE = 2BM > 2AB.

Vậy BD + BE > 2AB.

Bài 4. Cho ∆ABC có $\hat{\text{C}}=90°$ , AC < BC, kẻ CH ⊥ AB tại H. Trên các cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = BC, CN = CH. Chứng minh rằng:

a) MN ⊥ AC;

b) AC + BC < AB + CH.

Hướng dẫn giải

Xét ∆BMC có BM = BC (giả thiết) nên ∆BMC cân tại B.

Suy ra $\widehat{\text{BMC}}=\widehat{\text{BCM}}$ (tính chất tam giác cân) (1)

Vì CH ⊥ AB tại H nên ∆CHM vuông tại H.

Suy ra $\widehat{\text{CMH}}+\widehat{\text{MCH}}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Hay $\widehat{\text{MCH}}+\widehat{\text{BMC}}=90°$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\text{MCH}}+\widehat{\text{MCB}}=90°$ (3)

Ta có $\widehat{\text{NCM}}+\widehat{\text{MCB}}=90°$ (vì ∆ABC vuông tại C) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $\widehat{\text{NCM}}=\widehat{MCH}$

Xét ∆NCM và ∆HCM có:

CN = CH (giả thiết),

$\widehat{\text{NCM}}=\widehat{MCH}$ (chứng minh trên),

CM là cạnh chung.

Suy ra ∆NCM = ∆HCM (c.g.c)

Suy ra $\widehat{MNC}=\widehat{\text{MHC}}=90°$ (hai góc tương ứng)

Do đó MN ⊥ AC tại N.

Vậy MN ⊥ AC.

b) Ta có AB + CH = AM + MB + CH

Mà BM = BC; CH = CN (giả thiết)

Do đó AB + CH = AM + BC + CN (5)

Theo phần a ta có: MN ⊥ AC tại N nên ∆ANM vuông tại N.

Do đó cạnh huyền AM là cạnh lớn nhất.

Suy ra AM > AN.

Hay AM + CN > AN + CN

Suy ra AM + CN > AC

Do đó AM + CN + BC > AC + BC (6)

Từ (5) và (6) suy ra: AB + CH > AC + BC

Vậy AC + BC < AB + CH.

Học tốt Đường vuông góc và đường xiên

Các bài học để học tốt Đường vuông góc và đường xiên Toán lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

• Giải sbt Toán 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên