Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng hay nhất, chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều

Lý thuyết Đường trung trực của một đoạn thẳng

1. Định nghĩa

– Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.

Quan sát hình vẽ trên, ta có:

+ Đoạn thẳng AB; trung điểm I của đoạn thẳng AB;

+ Đường thẳng d ⊥ AB tại I.

Do đó, đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Ví dụ: Trong các hình dưới đây, hãy chỉ ra các đường trung trực trong mỗi hình (nếu có):

Hướng dẫn giải

– Quan sát hình 1, ta thấy:

Đường thẳng a ⊥ AB tại C nhưng đường thẳng a không đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB.

Do đó, đường thẳng a không là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

– Quan sát hình 2, ta thấy:

Đường thẳng b ⊥ DE tại F và đường thẳng b đi qua trung điểm F của đoạn thẳng DE.

Do đó, đường thẳng b là đường trung trực của đoạn thẳng DE.

– Quan sát hình 3, ta thấy:

Đường thẳng c đi qua trung điểm I của đoạn thẳng GH nhưng đường thẳng c không vuông góc với đoạn thẳng GH.

Do đó, đường thẳng c không là đường trung trực của đoạn thẳng GH.

2. Tính chất

– Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Quan sát hình trên, ta có:

Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng DE;

Điểm O nằm trên đường thẳng a.

Khi đó ta có OD = OE.

Ví dụ: Qua trung điểm O của AB kẻ đường trung trực d. Trên d lấy hai điểm E và F sao cho O nằm giữa E và F. Chứng minh rằng $\widehat{\text{EAF}}=\widehat{\text{EBF}}$ .

Hướng dẫn giải

Vì E và F nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB (giả thiết)

Nên EA = EB và FA = FB (tính chất đường trung trực)

Xét ∆EAF và ∆EBF ta có:

EA = EB (chứng minh trên),

FA = FB (chứng minh trên),

EF là cạnh chung.

Suy ra ∆EAF = ∆EBF (c.c.c)

Do đó $\widehat{\text{EAF}}=\widehat{\text{EBF}}$ (hai góc tương ứng).

Vậy $\widehat{\text{EAF}}=\widehat{\text{EBF}}$ .

– Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, M là điểm sao cho MA = MB (như hình vẽ bên dưới). Ta có M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

Ví dụ: Cho ∆ABC cân tại A có $\widehat{\text{BAC}}=80°$ , đường trung trực của AB cắt BC tại D. Tính $\widehat{\text{ADB}}.$

Hướng dẫn giải

∆ABC cân tại A nên $\hat{\text{B}}=\hat{\text{C}}$ (tính chất tam giác cân).

Xét ∆ABC có $\widehat{\text{BAC}}+\hat{\text{B}}+\hat{\text{C}}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay $80°+\hat{\text{B}}+\hat{\text{B}}=180°$ (vì $\hat{\text{B}}=\hat{\text{C}}$ )

Suy ra 2$\hat{\text{B}}=180°-80°=100°$

Suy ra $\hat{\text{B}}=100°:2=50°.$

Theo bài ta có D nằm trên đường trung trực của AB nên DA = DB.

Suy ra ∆DAB cân tại D.

Do đó $\hat{\text{B}}=\widehat{\text{BAD}}=50°$(tính chất tam giác cân)

Xét ∆DAB có: $\hat{\text{B}}+\widehat{\text{BAD}}+\widehat{\text{ADB}}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay $\widehat{\text{ADB}}=180°-\hat{\text{B}}-\widehat{\text{ABD}}=180°-50°-50°=80°$

Vậy $\widehat{\text{ADB}}=80°$ .

3. Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng

Ví dụ: Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB, biết AB = a cm.

Để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta làm theo các bước:

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB = a cm.

Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính R (biết R > $\frac{a}{2}$ ).

Bước 3: Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính R (biết R > $\frac{a}{2}$ ), cắt phần đường tròn tâm A vẽ ở Bước 2 tại các điểm C và D.

Bước 4: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm C và D. Đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài tập Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 1. Cho ∆MNP có MN = 3cm; $\hat{\text{N}}=40°$ và MO là đường trung trực của NP (O nằm trên NP). Tính độ dài MP và số đo $\widehat{\text{OMP}}$

Hướng dẫn giải

Ta có MO là đường trung trực của NP (giả thiết) nên M nằm trên đường trung trực của NP.

Do đó MN = MP = 3cm (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét ∆MNP có MN = MP nên ∆MNP cân tại M

Suy ra $\hat{\text{P}}=\hat{\text{N}}=40°$ (tính chất tam giác cân).

Vì MO là đường trung trực của NP nên MO ⊥ NP tại O.

Suy ra ∆MOP vuông tại O

Nên $\widehat{\text{OMP}}+\hat{\text{P}}=90°$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°).

Hay $\widehat{\text{OMP}}+40°=90°$

Suy ra $\widehat{\text{OMP}}=90°-40°=50°$

Vậy MP = 3cm và $\widehat{\text{OMP}}=50°$ .

Bài 2. Cho $\widehat{\text{xOy}}=30°$ . Trên tia Ox lấy điểm E, trên tia Oy lấy điểm F. Lấy điểm D sao cho OF là đường trung trực của ED.

a) Chứng minh $\widehat{OFE}=\widehat{OFD};$

b) Chứng minh: ∆OED đều.

Hướng dẫn giải

Vì OF là đường trung trực của ED (giả thiết)

Nên OE = OD và FE = FD (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét ∆OEF và ∆ODF có:

OE = OD (chứng minh trên),

FE = FD (chứng minh trên),

OF là cạnh chung.

Do đó ∆OEF = ∆ODF (c.c.c)

Suy ra $\widehat{OFE}=\widehat{OFD}$(hai góc tương ứng).

Vậy $\widehat{OFE}=\widehat{OFD}$ .

b) Theo phần a ta có: ∆OEF = ∆ODF nên $\widehat{EOF}=\widehat{\text{DOF}}=30°$ (hai góc tương ứng)

Ta lại có $\widehat{\text{EOD}}=\widehat{EOF}+\widehat{\text{FOD}}=30°+30°=60°$

Xét ∆OED có OE = OD nên ∆OED cân tại O.

Mà ∆OED cân tại O có $\widehat{\text{EOD}}=60°$ (chứng minh trên)

Do đó ∆OED đều.

Vậy ∆OED là tam giác đều.

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường phân giác BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) AH là trung trực của EF;

b) AH là trung trực của BC.

Hướng dẫn giải

a) Vì BE là phân giác của $\widehat{\text{ABC}}$ nên $\widehat{\text{ABE}}=\widehat{\text{CBE}}=\frac{1}{2}\widehat{\text{ABC}}$ (1)

CF là phân giác $\widehat{\text{ACB}}$ của nên $\widehat{\text{ACF}}=\widehat{\text{FCB}}=\frac{1}{2}\widehat{\text{ACB}}$ (2)

Mà $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}$ (vì ∆ABC cân tại A) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{\text{ABE}}=\widehat{\text{ACF}}$

• Xét ∆ABE và ∆ACF có:

AB = AC (vì ∆ABC cân tại A),

$\widehat{\text{ABE}}=\widehat{\text{ACF}}$ (chứng minh trên),

AH là cạnh chung.

Do đó ∆ABE = ∆ACF (c.g.c)

Suy ra AE = AF (hai cạnh tương ứng)

Suy ra A nằm trên đường trung trực của EF(4)

• Vì AB = AC và AF = AE (chứng minh trên)

Nên AB – AF = AC – AE

Hay BF = CE.

• Vì ∆ABE = ∆ACF (chứng minh trên)

Nên $\widehat{AEB}=\widehat{AFC}$(hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AEB}+\widehat{CEB}=180°$(hai góc kề bù)

$\widehat{AFC}+\widehat{BFC}=180°$(hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{CEB}=\widehat{BFC}$hay $\widehat{CEH}=\widehat{BFH}$

• Xét ∆BFH và ∆CEH có:

$\widehat{BFH}=\widehat{CEH}$(chứng minh trên),

BF = CE (chứng minh trên),

$\widehat{FBH}=\widehat{ECH}$(do $\widehat{\text{ABE}}=\widehat{\text{ACF}}$ ).

Do đó ∆BFH = ∆CEH (g.c.g)

Suy ra HF = HE (hai cạnh tương ứng)

Suy ra H nằm trên đường trung trực của EF(5)

Từ (4) và (5) suy ra A, H nằm trên đường trung trực của EF

Suy ra AH là đường trung trực của EF

Vậy AH đường trung trực của EF.

b) Vì ∆BFH = ∆CEH (chứng minh câu a)

Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng)

Do đó H nằm trên trung trực của BC

Mặt khác: AB = AC (chứng minh câu a)

Nên A nằm trên trung trực của BC

Do đó AH là đường trung trực của BC.

Vậy AH là đường trung trực của BC.

Bài 4. Cho ∆ABC có AB = 8cm; BC = 6cm. Qua trung điểm M của AC, kẻ đường vuông góc với AC cắt AB tại K. Tính chu vi ∆KBC.

Hướng dẫn giải

Theo bài ta có M là trung điểm của AC và KM ⊥ AC tại M nên KM là đường trung trực của AC

Suy ra KA = KC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) (1)

Ta có AB = AK + KB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = KC + KB

Mà AB = 8 cm nên KC + KB = 8 cm.

Ta có chu vi ∆KBC là:

P = KB + KC + BC = 8 + 6 = 14 (cm).

Vậy chu vi ∆KBC bằng 14 cm.

Học tốt Đường trung trực của một đoạn thẳng

Các bài học để học tốt Đường trung trực của một đoạn thẳng Toán lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

• Giải sbt Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng