X

Lý thuyết Toán 7 Cánh diều

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng hay nhất, chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều

Lý thuyết Đường trung trực của một đoạn thẳng

1. Định nghĩa

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Quan sát hình vẽ trên, ta có:

+ Đoạn thẳng AB; trung điểm I của đoạn thẳng AB;

+ Đường thẳng d ⊥ AB tại I.

Do đó, đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Ví dụ: Trong các hình dưới đây, hãy chỉ ra các đường trung trực trong mỗi hình (nếu có):

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Hướng dẫn giải

– Quan sát hình 1, ta thấy:

Đường thẳng a ⊥ AB tại C nhưng đường thẳng a không đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB.

Do đó, đường thẳng a không là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

– Quan sát hình 2, ta thấy:

Đường thẳng b ⊥ DE tại F và đường thẳng b đi qua trung điểm F của đoạn thẳng DE.

Do đó, đường thẳng b là đường trung trực của đoạn thẳng DE.

– Quan sát hình 3, ta thấy:

Đường thẳng c đi qua trung điểm I của đoạn thẳng GH nhưng đường thẳng c không vuông góc với đoạn thẳng GH.

Do đó, đường thẳng c không là đường trung trực của đoạn thẳng GH.

2. Tính chất

– Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Quan sát hình trên, ta có:

Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng DE;

Điểm O nằm trên đường thẳng a.

Khi đó ta có OD = OE.

Ví dụ: Qua trung điểm O của AB kẻ đường trung trực d. Trên d lấy hai điểm E và F sao cho O nằm giữa E và F. Chứng minh rằng EAF^=EBF^ .

Hướng dẫn giải

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Vì E và F nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB (giả thiết)

Nên EA = EB và FA = FB (tính chất đường trung trực)

Xét ∆EAF và ∆EBF ta có:

EA = EB (chứng minh trên),

FA = FB (chứng minh trên),

EF là cạnh chung.

Suy ra ∆EAF = ∆EBF (c.c.c)

Do đó EAF^=EBF^ (hai góc tương ứng).

Vậy EAF^=EBF^ .

– Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, M là điểm sao cho MA = MB (như hình vẽ bên dưới). Ta có M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Ví dụ: Cho ∆ABC cân tại A có BAC^=80° , đường trung trực của AB cắt BC tại D. Tính ADB^.

Hướng dẫn giải

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

∆ABC cân tại A nên B^=C^ (tính chất tam giác cân).

Xét ∆ABC có BAC^+B^+C^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay 80°+B^+B^=180° (vì B^=C^ )

Suy ra 2B^=180°80°=100°

Suy ra B^=100°:2=50°.

Theo bài ta có D nằm trên đường trung trực của AB nên DA = DB.

Suy ra ∆DAB cân tại D.

Do đó B^=BAD^=50°(tính chất tam giác cân)

Xét ∆DAB có: B^+BAD^+ADB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay ADB^=180°B^ABD^=180°50°50°=80°

Vậy ADB^=80° .

3. Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng

Ví dụ: Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB, biết AB = a cm.

Để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta làm theo các bước:

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB = a cm.

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính R (biết R > a2 ).

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Bước 3: Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính R (biết R > a2 ), cắt phần đường tròn tâm A vẽ ở Bước 2 tại các điểm C và D.

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Bước 4: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm C và D. Đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Bài tập Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 1. Cho ∆MNP có MN = 3cm; N^=40° và MO là đường trung trực của NP (O nằm trên NP). Tính độ dài MP và số đo OMP^

Hướng dẫn giải

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Ta có MO là đường trung trực của NP (giả thiết) nên M nằm trên đường trung trực của NP.

Do đó MN = MP = 3cm (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét ∆MNP có MN = MP nên ∆MNP cân tại M

Suy ra P^=N^=40° (tính chất tam giác cân).

Vì MO là đường trung trực của NP nên MO ⊥ NP tại O.

Suy ra ∆MOP vuông tại O

Nên OMP^+P^=90° (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°).

Hay OMP^+40°=90°

Suy ra OMP^=90°40°=50°

Vậy MP = 3cm và OMP^=50° .

Bài 2. Cho xOy^=30° . Trên tia Ox lấy điểm E, trên tia Oy lấy điểm F. Lấy điểm D sao cho OF là đường trung trực của ED.

a) Chứng minh OFE^=OFD^;

b) Chứng minh: ∆OED đều.

Hướng dẫn giải

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Vì OF là đường trung trực của ED (giả thiết)

Nên OE = OD và FE = FD (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét ∆OEF và ∆ODF có:

OE = OD (chứng minh trên),

FE = FD (chứng minh trên),

OF là cạnh chung.

Do đó ∆OEF = ∆ODF (c.c.c)

Suy ra OFE^=OFD^(hai góc tương ứng).

Vậy OFE^=OFD^ .

b) Theo phần a ta có: ∆OEF = ∆ODF nên EOF^=DOF^=30° (hai góc tương ứng)

Ta lại có EOD^=EOF^+FOD^=30°+30°=60°

Xét ∆OED có OE = OD nên ∆OED cân tại O.

Mà ∆OED cân tại O có EOD^=60° (chứng minh trên)

Do đó ∆OED đều.

Vậy ∆OED là tam giác đều.

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường phân giác BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) AH là trung trực của EF;

b) AH là trung trực của BC.

Hướng dẫn giải

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

a) Vì BE là phân giác của ABC^ nên ABE^=CBE^=12ABC^ (1)

CF là phân giác ACB^ của nên ACF^=FCB^=12ACB^ (2)

ABC^=ACB^ (vì ∆ABC cân tại A) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ABE^=ACF^

• Xét ∆ABE và ∆ACF có:

AB = AC (vì ∆ABC cân tại A),

ABE^=ACF^ (chứng minh trên),

AH là cạnh chung.

Do đó ∆ABE = ∆ACF (c.g.c)

Suy ra AE = AF (hai cạnh tương ứng)

Suy ra A nằm trên đường trung trực của EF(4)

• Vì AB = AC và AF = AE (chứng minh trên)

Nên AB – AF = AC – AE

Hay BF = CE.

• Vì ∆ABE = ∆ACF (chứng minh trên)

Nên AEB^=AFC^(hai góc tương ứng)

AEB^+CEB^=180°(hai góc kề bù)

AFC^+BFC^=180°(hai góc kề bù)

Do đó CEB^=BFC^hay CEH^=BFH^

• Xét ∆BFH và ∆CEH có:

BFH^=CEH^(chứng minh trên),

BF = CE (chứng minh trên),

FBH^=ECH^(do ABE^=ACF^ ).

Do đó ∆BFH = ∆CEH (g.c.g)

Suy ra HF = HE (hai cạnh tương ứng)

Suy ra H nằm trên đường trung trực của EF(5)

Từ (4) và (5) suy ra A, H nằm trên đường trung trực của EF

Suy ra AH là đường trung trực của EF

Vậy AH đường trung trực của EF.

b) Vì ∆BFH = ∆CEH (chứng minh câu a)

Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng)

Do đó H nằm trên trung trực của BC

Mặt khác: AB = AC (chứng minh câu a)

Nên A nằm trên trung trực của BC

Do đó AH là đường trung trực của BC.

Vậy AH là đường trung trực của BC.

Bài 4. Cho ∆ABC có AB = 8cm; BC = 6cm. Qua trung điểm M của AC, kẻ đường vuông góc với AC cắt AB tại K. Tính chu vi ∆KBC.

Hướng dẫn giải

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) | Cánh diều

Theo bài ta có M là trung điểm của AC và KM ⊥ AC tại M nên KM là đường trung trực của AC

Suy ra KA = KC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) (1)

Ta có AB = AK + KB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = KC + KB

Mà AB = 8 cm nên KC + KB = 8 cm.

Ta có chu vi ∆KBC là:

P = KB + KC + BC = 8 + 6 = 14 (cm).

Vậy chu vi ∆KBC bằng 14 cm.

Học tốt Đường trung trực của một đoạn thẳng

Các bài học để học tốt Đường trung trực của một đoạn thẳng Toán lớp 7 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: