Các dạng bài tập Đạo hàm chọn lọc, có lời giải - Toán lớp 11

---

Các dạng bài tập Đạo hàm chọn lọc, có lời giải

Với Các dạng bài tập Đạo hàm chọn lọc, có lời giải Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Đạo hàm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách tính Đạo hàm

• Lý thuyết Đạo hàm chi tiết Xem chi tiết
• Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa Xem chi tiết
• Dạng 2: Tính đạo hàm bằng công thức Xem chi tiết
• Dạng 3: Tính đạo hàm của hàm số lượng giác Xem chi tiết
• Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Xem chi tiết
• Đạo hàm của các hàm số đơn giản Xem chi tiết
• Đạo hàm của hàm hợp Xem chi tiết
• Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình Xem chi tiết
• Tính đạo hàm tại 1 điểm Xem chi tiết
• Tính đạo hàm của hàm số lượng giác Xem chi tiết
• Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác Xem chi tiết
• 60 bài tập trắc nghiệm Đạo hàm có đáp án Xem chi tiết

Viết phương trình Tiếp tuyến

• Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm Xem chi tiết
• Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc Xem chi tiết
• Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm Xem chi tiết
• Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm Xem chi tiết
• Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc Xem chi tiết
• Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm Xem chi tiết
• Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước Xem chi tiết
• 60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án Xem chi tiết

Vi phân, đạo hàm cấp cao & ý nghĩa của đạo hàm

• Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số Xem chi tiết
• Dạng 2: Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số Xem chi tiết
• Dạng 3: Ý nghĩa của đạo hàm Xem chi tiết
• 40 bài tập trắc nghiệm Vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án Xem chi tiết
• Cách tìm vi phân của hàm số Xem chi tiết
• Đạo hàm cấp cao của hàm số Xem chi tiết
• Ý nghĩa vật lí của đạo hàm Xem chi tiết

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa

A. Phương pháp giải

+ Định nghĩa đạo hàm của hàm số: Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀∈(a;b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:

Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f( x) tại điểm x₀ và kí hiệu:

+ Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Bước 1: giả sử ∆ x là số gia của đối số x0. Tính ∆ y= f(x₀ + ∆x) – f(x₀) .

Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x

Bước 3.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y= f(x) tại x₀ < 1 ?

Hướng dẫn giải

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.

Chọn C.

Ví dụ 2. Cho hàm số y= f(x) liên tục tại x₀. Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại x₀ là

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ví dụ 3. Số gia của hàm số y= f(x )= x³ + 1 ứng với x₀= 1 và ∆ x= 1 bằng bao nhiêu?

A. – 10        B . 7        C. - 1.        D. 0

Hướng dẫn giải

Ta có ∆y= f( x₀+ ∆x)-f(x₀ )=( x₀+ ∆x)³+1- x₀³-1

= 3.x₀².∆x+3x₀ ( ∆x)²+( ∆x)³

Với x₀ =1 và ∆ x=1 thì ∆ y=7.

Chọn B

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Đường cong (C): y = f(x) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x_o khi và chỉ khi hàm số y = f(x) khả vi tại x_o. Trong trường hợp (C) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x_othì tiếp tuyến đó có hệ số góc f ’(x_o)

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M(x_o; f(x_o)) có dạng :

y = f’(x_o)(x-x_o) + f(x_o)

Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x_o; f(x_o))

Giải: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M(x_o;f(x_o)) là:

y = f’(x_o)(x-x_o)+f(x_o)        (1)

Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết hoành độ tiếp điểm x = x_o

Giải:

Tính y_o = f(x_o) và f’(x_o). Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến:

y = f’(x_o)(x-x_o) + y_o

Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tung độ tiếp điểm bằng y_o

Giải. Gọi M(x_o, y_o) là tiếp điểm

Giải phương trình f(x) = y_o ta tìm được các nghiệm x_o.

Tính y’(x_o) và thay vào phương trình (1)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hàm số y = x³+3x²+1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

1. Tại điểm M( -1;3)

2. Tại điểm có hoành độ bằng 2

Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác định D = R

Ta có: y’ = 3x² + 6x

1. Ta có: y’(-1) = -3, khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là:

y = -3.(x + 1) + 3 = - 3x

2. Thay x = 2 vào đồ thị của (C) ta được y = 21

Tương tự câu 1, phương trình là:

y = y’(2).(x – 2) + 21 = 24x – 27

Bài 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số . Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M

Hướng dẫn:

Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 ⇔ y_M = ±5.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(-7/3,-5) là y = 9x + 16

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M( - 4, 5) là y = 4x + 21

Bài 3: Cho hàm số y = x³ + 3x² – 6x + 1 (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hoành độ tiếp điểm bằng 1

Hướng dẫn:

Gọi M(x_o; y_o) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có x_o = 1 ⇒ y_o = - 1

y = x³ + 3x² – 6x + 1 nên y’ = 3x² + 6x – 6.

Từ đó suy ra y’(1) = 3.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x – 1) – 1 = 3x – 4

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc

*Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x₀; f(x₀) ).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 là:

y–y₀=f' (x₀).(x–x₀)

A. Phương pháp giải

1.- Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

- Giả sử M(x₀ ; y₀) là tiếp điểm. Khi đó x₀ thỏa mãn: f’(x₀)= k (*) .

- Giải (*) tìm x₀. Suy ra y₀= f(x₀). Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y= k(x- x₀) + y₀

2. Cho đường thẳng d : y= k_dx + b

+) Nếu ∆ // d thì k∆ = k_d

+) Nếu ∆ vuông góc với d thì : k∆. k_d = -1 ⇔ k∆ = (- 1)/k_d

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) :y=-x⁴-x²+6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:y=1/6x-1 .

A.y= 6x+ 1        B. y= - 6x+ 6        C.y= -6x+ 10        D. y= 6x+ 12

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định D=R.

Đạo hàm của hàm số: y’= - 4x³ – 2x

Gọi ∆ là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số và ∆ vuông góc với đường thẳng d : y=1/6x-1 .

⇒ đường thẳng ∆ có hệ số góc : k= -6.

Cách 1: Gọi M(x₀ ; y₀) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến ∆ và đồ thị (C) của hàm số .

Khi đó, ta có phương trình: y'(x₀)=-6 ⇔-4x₀³-2x₀=-6

⇔(x₀-1)(2x₀²+2x₀+3)=0(*).

Vì 2x₀²+2x₀+3 > 0,∀x₀∈R nên phương trình ( *) tương đường x₀ =1

⇒ y₀= y(1)= 4 nên M( 1 ; 4)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=-6(x-1)+4=-6x+10.

Cách 2: Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y=-6x+m ( **)

Do ∆ tiếp xúc (C) tại điểm M(x₀ ; y₀) khi hệ phương trình sau có nghiệm x0 :

Thay vào (**) ta có phương trình tiếp tuyến là: y= - 6x+ 10

Chọn C.

Ví dụ 2. Cho hàm số y=1/3 x³-x+2/3 có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng d: y=-1/3 x+2/3.

A. ( 1; -2) và ( -2; 0)        B. ( - 2; 0) và ( 2; 4/3 )

C. ( -2; 5) và ( 1;0)        D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định D= R.

Ta có đạo hàm: y'=x²-1

GọiM(x₀;y₀)∈(C) ⇔y₀=1/3 x₀³-x₀+2/3,

Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: y'(x₀)=x₀²-1

Đường thẳng d: có hệ số góc k₂=-1/3