Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x^3 + 3x^2 – 2

Giải sách bài tập Toán 12 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 23 trang 51 SBT Toán 12 Tập 2: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x³ + 3x² – 2.

b) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình x³ – 3x² + 5 – m = 0 có ba nghiệm phân biệt.

c) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số mà tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hệ số góc lớn nhất.

Lời giải:

a) Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = −3x² + 6x

y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Ta có bảng biến thiên sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x^3 + 3x^2 – 2

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

Điểm cực đại và cực tiểu của hàm số lần lượt là (2; 2) và (0; −2).

Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I(1; 0) làm tâm đối xứng.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x^3 + 3x^2 – 2

b) Ta có: x³ – 3x² + 5 – m = 0 ⇔ −x³ + 3x² – 2 = 3 – m.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = 3 – m cắt đồ thị y = −x³ + 3x² – 2 tại ba điểm phân biệt.

Điều này tương đương với −2 < 3 – m < 2 ⇔ 1 < m < 5.

c) Ta có: y' = −3x² + 6x = (−3x² + 6x – 3) + 3 = −3(x – 1)² + 3 ≤ 3, ∀x ∈ ℝ.

Vậy tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất bằng 3 tại x = 1.

Phương trình tiếp tuyến này là y = y'(1)(x – 1) + y(1)

⇔ y = 3(x – 1) + 0

⇔ y = 3x – 3.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác: