Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R trang 52 SBT Toán 12 Tập 2


Giải sách bài tập Toán 12 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 27 trang 52 SBT Toán 12 Tập 2: Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R.

a) Chứng minh rằng thể tích của khối chóp tương ứng và V = 4R2x23x2R, trong đó x là chiều cao của hình chóp.

b) Với giá trị nào của x để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?

Hướng dẫn:

Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R trang 52 SBT Toán 12 Tập 2

a) Mặt phẳng đi qua đường cao SH của hình chóp và trung điểm M của một cạnh đáy cắt hình chóp theo tam giác cân SMN và cắt hình cầu theo hình tròn tâm I bán kính R nội tiếp tam giác SMN.

Có thể thể tích khối chóp theo x và α = SNH^ . Sau đó sử dụng đẳng thức x = R + IS để tìm hệ thức giữa R, x và α.

Lời giải:

a)

Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R trang 52 SBT Toán 12 Tập 2

Xét tam giác vuông SHN, ta có: HN = SH.cotα = xcotα.

MN = 2HN = 2xcotα.

Thể tích khối chóp là V = 13MN2.SH=43x3cot2α.

Xét tam giác SHN có HSN^  = 90° − α.

Trong tam giác IPH vuông tại P, có SI = IPsin90°α=Rcosα .

Ta có: SH = HI + IS = R + Rcosα

⇒ cosα = RxR .

Suy ra sin2α = 1 – cos2α = 1 − R2xR2  = x22RxxR2;

cot2α = cos2αsin2α=R2xx2R.

Từ đó ta được V = 4R2x23x2R.

b) Xét hàm số f(x) = 4R2x23x2R với x > 2R.

Ta có: f'(x) = 12R2x248R3x9x2R2=12R2xx4R9x2R2;

           f'(x) = 0 ⇔ 12R2xx4R9x2R2  = 0 ⇔ x = 4R.

Ta có bảng biến thiên:

Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R trang 52 SBT Toán 12 Tập 2

Vậy minx>2RV=323R3  khi x = 4R.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: