Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = -(x^2 + x + 1)/x
Giải sách bài tập Toán 12 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức
Bài 25 trang 52 SBT Toán 12 Tập 2: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = .
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.
Lời giải:
a) Tập xác định: D = ℝ\{0}.
Ta có: y = =
⇒y' = −1 + =
y' = 0 ⇔ = 0 ⇔ 1 – x2 = 0 ⇔ x = ±1.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (0; 1).
Điểm cực tiểu và điểm cực đại của đồ thị hàm số lần lượt là (−1; 1) và (1; −3).
Các giới hạn:
; .
= = 0. Vậy đường thẳng y = −x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
; . Vậy đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(0; −1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
b)
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = và đường thẳng d: y = −2x + m là nghiệm của phương trình:
= −2x + m
⇔ x2 – (1 + m)x – 1 = 0 (x ≠ 0). (*)
Phương trình (*) có ac = −1 < 0 nên luôn có hai nghiệm trái dấu.
Vậy với mọi m, đường thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm A(x1; −2x1 + m) và
B(x2; −2x2 + m) thuộc hai nhánh của đồ thị, ở đó x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Ta có:
AB2 = (x1 – x2)2 + [(−2x1 + m) – (−2x2 + m)]2
= (x1 – x2)2 + 4(x1 – x2)2
= 5(x1 – x2)2
= 5[(x1 + x2)2 – 4x1x2].
Theo định lí Viète ta có: .
⇒ AB2 = 5[(m + 1)2 + 4] = 5(m + 1)2 + 20 ≥ 20 ∀m.
Vậy AB ≥ 2 .
Dấu “=” xảy ra khi m = −1.
Lúc này phương trình (1) là x2 – 1 = 0 ⇔ x = ±1.
Vậy đường thẳng d: y = −2x – 1 đi qua hai điểm cực trị A(−1; 1) và B(1; −3).
Đồ thị hàm số như sau:
Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:
Bài 3 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào? ....
Bài 5 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là sai? ....
Bài 7 trang 49 SBT Toán 12 Tập 2: Phát biểu nào sau đây là sai? A. = x + C; B. + C ....
Bài 9 trang 49 SBT Toán 12 Tập 2: Cho và . Giá trị của là ....
Bài 14 trang 50 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: ....
Bài 24 trang 51 SBT Toán 12 Tập 2: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = ....
Bài 27 trang 52 SBT Toán 12 Tập 2: Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R ....
Bài 32 trang 53 SBT Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = − 2 ....
Bài 34 trang 53 SBT Toán 12 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính ....
Bài 35 trang 53 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: ....
Bài 37 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: ∆: và ∆': ....
Bài 38 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 0) và B(3; 2; 2) ....
Bài 45 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Thống kê cho thấy tỉ lệ người mắc bệnh X trong dân cư là 20% ....