Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = -(x^2 + x + 1)/x


Giải sách bài tập Toán 12 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 25 trang 52 SBT Toán 12 Tập 2: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x2+x+1x .

b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

Lời giải:

a) Tập xác định: D = ℝ\{0}.

Ta có: y = x2+x+1x  = x11x

       ⇒y' = −1 + 1x21x2x2

          y' = 0 ⇔ 1x2x2 = 0 ⇔ 1 – x2 = 0 ⇔ x = ±1.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (0; 1).

Điểm cực tiểu và điểm cực đại của đồ thị hàm số lần lượt là (−1; 1) và (1; −3).

Các giới hạn:

limxy=+; limx+y= .

limx±yx1 = limx±1x = 0. Vậy đường thẳng y = −x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

limx0y=+; limx0+y= . Vậy đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có bảng biến thiên:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = -(x^2 + x + 1)/x

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(0; −1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = -(x^2 + x + 1)/x

b)

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2+x+1x  và đường thẳng d: y = −2x + m  là nghiệm của phương trình:

x2+x+1x = −2x + m

⇔ x2 – (1 + m)x – 1 = 0 (x ≠ 0). (*)

Phương trình (*) có ac = −1 < 0 nên luôn có hai nghiệm trái dấu.

Vậy với mọi m, đường thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm A(x1; −2x1 + m) và

B(x2; −2x2 + m) thuộc hai nhánh của đồ thị, ở đó x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Ta có:

AB2 = (x1 – x2)2 + [(−2x1 + m) – (−2x2 + m)]2

        = (x1 – x2)2 + 4(x1 – x2)2

        = 5(x1 – x2)2

        = 5[(x1 + x2)2 – 4x1x2].

Theo định lí Viète ta có: x1+x2=m+1x1x2=1 .

⇒ AB2 = 5[(m + 1)2 + 4] = 5(m + 1)2 + 20 ≥ 20 ∀m.

Vậy AB ≥ 25 .

Dấu “=” xảy ra khi m = −1.

Lúc này phương trình (1) là x2 – 1 = 0 ⇔ x = ±1.

Vậy đường thẳng d: y = −2x – 1 đi qua hai điểm cực trị A(−1; 1) và B(1; −3).

Đồ thị hàm số như sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = -(x^2 + x + 1)/x

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: