Thống kê cho thấy tỉ lệ người mắc bệnh X trong dân cư là 20%


Thống kê cho thấy tỉ lệ người mắc bệnh X trong dân cư là 20%. Bệnh X có liên quan tới triệu chứng S.

Giải sách bài tập Toán 12 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 45 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Thống kê cho thấy tỉ lệ người mắc bệnh X trong dân cư là 20%. Bệnh X có liên quan tới triệu chứng S.

a) Theo bác sĩ M nếu một người mắc bệnh X thì khả năng người đó có triệu chứng S là 90% và nếu người đó không mắc bệnh X thì chỉ có 15% khả năng người đó có triệu chứng S mà thôi. Vậy theo bác sĩ M, nếu một người có triệu chứng S thì xác suất để người đó mắc bệnh X là bao nhiêu?

b) Theo bác sĩ N nếu một người mắc bệnh X thì 95% khả năng người đó có triệu chứng S và nếu người đó không mắc bệnh X thì chỉ có 10% khả năng người đó có triệu chứng S mà thôi. Vậy theo bác sĩ N, nếu một người có triệu chứng S thì xác suất để người đó mắc bệnh X là bao nhiêu?

c) Theo bác sĩ P nếu một người mắc bệnh X thì 99% khả năng người đó có triệu chứng S. Còn nếu người đó không mắc bệnh X thì chỉ có 1% khả năng người đó có triệu chứng S mà thôi. Vậy theo bác sĩ P, nếu một người có triệu chứng S thì xác suất để người đó mắc bệnh X là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi A là biến cố: “Người đó mắc bệnh X”,

       B là biến cố: “Người đó có triệu chứng S”.

Ta có: P(A) = 0,2.

Xác suất để một người có triệu chứng S mắc bệnh X là P(A | B).

a) Theo đánh giá của bác sĩ M, nếu một người mắc bệnh X thì 90% khả năng người đó có triệu chứng S, tức là P(B | A) = 0,9; nếu người đo không mắc bệnh X thì xác suất người đó có triệu chứng S là 15% hay P(B | A¯ ) = 0,15.

Theo công thức Bayes, ta được:

P(A | B) = PA.PB|APA.PB|A+PA¯.PB|A¯ = 0,2.0,90,2.0,9+10,2.0,15  = 0,6.

Vậy bác sĩ M kết luận: Nếu một người có triệu chứng S thì người đó mắc bệnh X với xác suất 0,6.

b) Theo bác sĩ N thì nếu một người mắc bệnh X thì 95% khả năng người đó có triệu chứng S, tức là P(B | A) = 0,95; nếu người đo không mắc bệnh X thì xác suất người đó có triệu chứng S là 10% hay P(B | A¯) = 0,1.

Theo công thức Bayes, ta được:

P(A | B) = PA.PB|APA.PB|A+PA¯.PB|A¯  = 0,2.0,950,2.0,95+10,2.0,1  ≈ 0,74.

Vậy bác sĩ N kết luận: Nếu một người có triệu chứng S thì người đó mắc bệnh X với xác suất khoảng 0,74.

c) Theo bác sĩ P thì nếu một người mắc bệnh X thì 99% khả năng người đó có triệu chứng S, tức là P(B | A) = 0,99; nếu người đo không mắc bệnh X thì xác suất người đó có triệu chứng S là 1% hay P(B | A¯ ) = 0,01.

Theo công thức Bayes, ta được:

P(A | B) = PA.PB|APA.PB|A+PA¯.PB|A¯  = 0,2.0,990,2.0,90+10,2.0,01  ≈ 0,961.

Vậy bác sĩ P kết luận: Nếu một người có triệu chứng S thì người đó mắc bệnh X với xác suất khoảng 0,961.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: