Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = (2x - 1)/(x - 1)
Giải sách bài tập Toán 12 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức
Bài 24 trang 51 SBT Toán 12 Tập 2: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = 2x−1x−1 . Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị.
b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt.
c) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị (H) tại mọi điểm M thuộc (H) luôn cắt hai tiệm của (H) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.
Lời giải:
a) Tập xác định: D = ℝ\{1}.
Chiều biến thiên: y' = −1(x−1)2 < 0, ∀x ≠ 1.
Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (−∞; 1) và (1; +∞).
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn tại vô cực: limx→−∞y=2; limx→+∞y=2. Vậy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Giới hạn vô cực: limx→1−y=−∞; limx→1+y=+∞. Vậy đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
b) Đường thẳng thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H): y = 2x−1x−1 tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 2x−1x−1 = −x + m có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Ta có: 2x−1x−1 = −x + m
⇔ 2x − 1 = (x – 1)(−x + m).
⇔ x2 + (1 – m)x + m – 1 = 0 (x ≠ 1)
⇔ {Δ=(1−m)2−4(m−1)>01+1−m+m−1≠0
⇔ m2 – 6m + 5 > 0
⇔ m ∈ (−∞; 1) ∪ (5; +∞).
c)
Lấy điểm M(t;2t−1t−1) bất kì thuộc đồ thị (H) với t ≠ 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại tiếp điểm M là
∆: y = y'(t)(x – t) + y(t) hay y = −1(t−1)2(x−t)+2t−1t−1 .
Đường thẳng ∆ cắt tiệm cận đứng tại A(1;2tt−1). Ta có: IA = 2|t−1| .
Đường thẳng ∆ cắt tiệm cận ngang tại điểm B(2t – 1; 2).
Ta có IB = 2|t - 1| .
Vậy diện tích tam giác IAB là
SΔIAB=12IA.IB=12.2|t−1|.2|t−1|=2 (đvdt).
Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:
Bài 27 trang 52 SBT Toán 12 Tập 2: Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R ....
Bài 29 trang 53 SBT Toán 12 Tập 2: Tính: a) π4∫0sin2x2dx;b) 1∫0(3x−4x3)dx−2∫1(4x3−3x)dx; ....
Bài 32 trang 53 SBT Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = √x − 2 ....
Bài 34 trang 53 SBT Toán 12 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính (→AB+→AD).→BC ....
Bài 35 trang 53 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: x−21=y+22=z−32 ....
Bài 38 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 0) và B(3; 2; 2) ....
Bài 45 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Thống kê cho thấy tỉ lệ người mắc bệnh X trong dân cư là 20% ....