Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = (2x - 1)/(x - 1)


Giải sách bài tập Toán 12 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 24 trang 51 SBT Toán 12 Tập 2: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = 2x1x1 . Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị.

b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt.

c) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị (H) tại mọi điểm M thuộc (H) luôn cắt hai tiệm của (H) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

Lời giải:

a) Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Chiều biến thiên: y' = 1x12 < 0, ∀x ≠ 1.

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (−∞; 1) và (1; +∞).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực: limxy=2; limx+y=2. Vậy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Giới hạn vô cực: limx1y=; limx1+y=+. Vậy đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có bảng biến thiên:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = (2x - 1)/(x - 1)

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = (2x - 1)/(x - 1)

b) Đường thẳng thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H): y = 2x1x1  tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 2x1x1  = −x + m có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Ta có: 2x1x1  = −x + m

⇔ 2x − 1 = (x – 1)(−x + m).

⇔ x2 + (1 – m)x + m – 1 = 0 (x ≠ 1) 

Δ=1m24m1>01+1m+m10

⇔ m2 – 6m + 5 > 0

⇔ m ∈ (−∞; 1) ∪ (5; +∞).

c)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = (2x - 1)/(x - 1)

Lấy điểm Mt;2t1t1 bất kì thuộc đồ thị (H) với t ≠ 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại tiếp điểm M là

∆: y = y'(t)(x – t) + y(t) hay y = 1t12xt+2t1t1 .

Đường thẳng ∆ cắt tiệm cận đứng tại A1;2tt1. Ta có: IA = 2t1 .

Đường thẳng ∆ cắt tiệm cận ngang tại điểm B(2t – 1; 2).

Ta có IB = 2|t - 1| .

Vậy diện tích tam giác IAB là

SΔIAB=12IA.IB=12.2t1.2t1=2  (đvdt).

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: