15 dạng bài Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian chọn lọc - Toán lớp 11

15 dạng bài Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian chọn lọc

Với 15 dạng bài Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian chọn lọc Toán lớp 11 tổng hợp các dạng bài tập, 200 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

15 dạng bài Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian chọn lọc

Tổng hợp lý thuyết chương Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Các dạng bài tập

Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

A. Phương pháp giải

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.

Về dạng này điểm chung thứ nhất thường dễ tìm. Điểm chung còn lại các bạn phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba và chúng không song song. Giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai.

Chú ý: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Tìm mệnh đề sai?

A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO.

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI.

D. Đường thẳng SO nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt.

Lời giải

Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

Xét các phương án:

+ Phương án A:

Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên là: (SAB); (SBC); (SCD) và (SAD). Do đó A đúng.

+ Phương án B:

Ta có:

Do đó B đúng

+ Tương tự, ta có SI = (SAD) ∩ (SBC). Do đó C đúng.

+ Đường thẳng SO không nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt. Do đó D sai. Chọn D.

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD).

A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD.

B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD.

C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC.

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Ta có : S ∈ (SAC) ∩ (SBD) (1)

+ Trong mp(ABCD) gọi giao điểm của AC và BD là O. ( bạn đọc tự vẽ hình)

- Vì

+ Từ (1) và (2) suy ra SO = (SAC) ∩ (SBD)

Chọn A

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD)

A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD

B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD

C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Ta có: S ∈ (SAB) ∩ (SCD) (1)

+ Trong mp(ABCD) gọi giao điểm của AB và CD là I. (bạn đọc tự vẽ hình)

Vì

+ Từ (1) và (2) suy ra SI = (SAB) ∩ (SCD)

Chọn B

Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy

A. Phương pháp giải

- Để chứng minh 3 điểm A; B; C thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó cùng thuộc 1 đường thẳng hoặc chứng minh 3 điểm đó là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β) - Khi đó chúng cùng thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (α) và (β).

- Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể làm theo những cách sau:

+ Cách 1: chứng minh giao điểm của hai đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba

+ Cách 2: Dựa vào định lí: Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến khi đó; ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) qua MN và cắt AD; BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. I; A; C B. I; B; D C. I; A; B D. I; C; D

Lời giải

Ta có: (ABD) ∩ (BCD) = BD (1)

Lại có Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy - Toán lớp 11

Từ (1) và (2) suy ra: I ∈ BD hay 3 điểm I; B; D thẳng hàng

Chọn B

Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC. Gọi L; M; N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA; SB và AC sao cho LM không song song với AB và LN không song song với SC. Mặt phẳng (LMN) cắt các cạnh AB; BC và SC lần lượt tại K; I; J. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. K; I và J B. M; I và J C. N ; I và J D. M; K và J

Lời giải

Ta có

- M ∈ SB suy ra M isin; (LMN) ∩ (SBC) (1)

- I ∈ BC ⊂ (SBC) và I ∈ NK ⊂ (LMN)

⇒ I ∈ (LMN) ∩ (SBC) (2)

- J ∈ SC ⊂ (SBC) và J ∈ LN ⊂ (LMN)

⇒ J ∈ (LMN) ∩ (SBC) (3)

Vậy M ; I; J thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của mp (LMN) và (SBC)

Chọn B

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD; M là trung điểm CD; I thuộc đoạn AG; BI cắt mp (ACD) tại J. Chọn mệnh đề sai

A. Giao tuyến của (ACD) và (ABG) là AM

B. 3 điểm A; J; M thẳng hàng.

C. J là trung điểm của AM.

D. Giao tuyến của mp(ACD) và (BDJ) là DJ.

Lời giải

Ta xét các phương án:

+ Ta có: A là điểm chung thứ nhất giữa hai mp (ACD) và mp (GAB) (1)

Do M là giao điểm của BG và CD nên:

Từ (1) và (2) suy ra: giao tuyến của (ABG) và (ACD) là AM ⇒ A đúng

+ Ta có Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy - Toán lớp 11 ⇒ AM và BI đồng phẳng

⇒ J = BI ∩ AM nên 3 điểm A; J; M thẳng hàng → B đúng.

+ Ta có Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy - Toán lớp 11

⇒ D đúng

+ Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM.

⇒ C sai

Chọn C

Cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

A. Phương pháp giải

Để chứng ming hai đường thẳng song song trong không gian có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

1. Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)

2. Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.

3. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

4. Áp dụng định lí về giao tuyến song song.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn mệnh đề đúng.

A. IJ // CD

B. IJ // AB

C. IJ và CD chéo nhau

D. IJ cắt AB

Lời giải

Cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian - Toán lớp 11

+ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và BD

⇒ MN là đường trung bình của tam giác BCD nên MN // CD (1)

+ Do I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD

⇒ AI/AM = AJ/AN = 2/3

⇒ IJ // MN (định lí Ta-let đảo) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IJ // CD

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có AD không song song với BC. Gọi M; N; P; Q; R; T lần lượt là trung điểm của AC; BD; BC; CD; SA và SD. Hai đường thẳng nào sau đây song song với nhau.

A. MP và RT

B. MQ và RT

C. MN và RT

D. PQ và RT

Lời giải

+ Ta có: M và Q lần lượt là trung điểm của AC; CD

⇒ MQ là đường trung bình của tam giác CAD nên MQ // AD (1)

+ Ta có: R; T lần lượt là trung điểm của SA; SD

⇒ RT là đường trung bình của tam giác SAD nên RT // AD (2)

+ Từ (1) và ( 2) suy ra: MQ // RT

Chọn B

Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC và SD. Tìm đường thẳng không song song với IJ trong các đường thẳng sau:

A. EF B. DC C. AD D. AB

Lời giải

+ Xét tam giác SAB có IJ là đường trung bình

⇒ IJ // AB (tính chất đường trung bình trong tam giác) (1)

+ Xét tam giác SCD có EF là đường trung bình

⇒ EF // CD (2)

+ Mà ABCD là hình bình hành nên : AB// CD (3)

Từ( 1); (2) và (3) suy ra: IJ // AB // CD // EF

Chọn C

Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng khác

A. Phương pháp giải

Xác định lần lượt các giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp theo các bước sau:

- Từ điểm chung có sẵn , xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của hình chóp (Có thể là mặt trung gian)

- Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác . Từ đó xác định được các giao tuyến mới với các mặt này

- Tiếp tục như thế cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện .

Sử dụng định lí: Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với 2 đường thẳng đó:

Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng khác - Toán lớp 11

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC; gọi E là điểm thuộc CD sao cho ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD là:

A. Tam giác MNE

B. Tứ giác MNEF với F là trung điểm BD

C. Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC

D. Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC

Lời giải

+ Tam giác ABC có M; N lần lượt là trung điểm của AB; AC

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC.

+ Ta tìm giao tuyến của mp (MNE) và mp(BCD) :

Gọi giao điểm của tia Ex và BD là F

Do đó: MN // EF suy ra bốn điểm M; N; E; F đồng phẳng và MNEF là hình thang

Vậy hình thang MNEF là thiết diện cần tìm

Chọn D

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a. Các điểm M; N; P lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC. Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng:

Lời giải

+ Do N; P lần lượt là trung điểm của SB; SC

⇒ NP là đường trung bình của tam giác SBC nên NP // BC // AD

+ Ta tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD) có:

+ Trong mp ( SAD) ; gọi Mx cắt SD tại Q

⇒ Thiết diện của hình chóp là tứ giác MNPQ.

+ Tam giác SAD có M; Q lần lượt là trung điểm của SA; SD suy ra MQ // AD

+ Tam giác SBC có N; P lần lượt là trung điểm của SB; SC suy ra NP // BC

Mặt khác AD // BC suy ra MQ // NP và MQ = NP = (1/2)BC = (1/2)AD

⇒ MNPQ là hình bình hành .

+ Mà AB = AC và AB vuông góc với BC (do đây là hình chóp tứ giác đều)

⇒ MN = NP và MN vuông góc NP

⇒ MNPQ là hình vuông cạnh MN = a/2

+ Diện tích hình vuông MNPQ là S = (a/2)² = a²/4

Chọn C

Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng ( IBC) là:

A. Tam giác IBC

B. Hình thang IBCJ với J là trung điểm SD

C. Hình thang IGBC với G là trung điểm SB

D. Tứ giác IBCD

Lời giải

+ Ta tìm giao tuyến của mp (IBC) và (SAD)

+ Trong mặt phẳng (SAD) có: Ix // AD

Gọi giao điểm của Ix và SD là J

⇒ IJ // BC

⇒ thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là hình thang IBCJ.

Chọn B

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm AB và AC. Mặt phẳng (α) qua MN cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là một đa giác. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Thiết diện là hình chữ nhật

B. Thiết diện là tam giác

C. Thiết diện là hình thoi

D. Thiết diện là tam giác hoặc hình thang

Lời giải

Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng khác - Toán lớp 11

+ Trường hợp: mp (α) ∩ AD = K

⇒ Thiết diện là tam giác MNK. Do đó A và C sai.

+ Trường hợp: (α) ∩ (BCD) = IJ với I ∈ BD; J ∈ CD và I; J không trùng D.

⇒ Thiết diện là tứ giác MNJI. Hơn nữa; tứ giác MNJI là hình thang

Thật vậy, do MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC.

⇒ Tứ giác MNJI là hình thang

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hai hình vuông ABCD và CDIS không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng 4. Biết tam giác SAC cân tại S; SB = 8. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (ACI) có diện tích bằng:

A. 8 B. 8√2 C. 8√3 D. 10

Lời giải

+ Gọi O là giao điềm của SD và CI; N là giao điểm của AC và BD

⇒ O; N lần lượt là trung điểm của DS và DB (do ABCD và CDSI là hình vuông)

⇒ ON là đường trung bình của tam giác SBD và ON = (1/2)SB = 4

+ Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp (ACI) là tam giác OCA.

Tam giác SAC cân tại S nên SC = SA

⇒ ΔSDC = ΔSDA (c.c.c)

⇒ CO = AO (cùng là đường trung tuyến của 2 định tương ứng)

⇒ tam giác OCA cân tại O

⇒ ON là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao

Khi đó; diện tích tam giác OCA là:

Chọn B.

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều. Cho SC = SD = a√3. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SA; SB. M là mộtđiềm trên cạnh AD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi (HKM) là:

A. Tam giác

B. Tứ giác

C. Hình thanh cân

D. Hình bình hành

Lời giải

+ xét tam giác SAB có H và K lần lượt là trung điểm của SA; SB

⇒ HK là đường trung bình của tam giác SAB và HK // AB

+ xác định giao tuyến của mp(HKM) và (ABCD) có;

+ Trong mp ( ABCD) gọi Mx cắt BC tại N

⇒ Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(HKM) là hình thang KHMN

+ Xét tam giác SAD và SBC có:

⇒ Tứ giác KHMN là hình thang cân

Chọn C

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SAD. M là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp với mp(IJM)

A. Tứ giác B. Ngũ giác C. Hình thang D. Hình thang cân

Lời giải

+ Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AD; AB

+ Do I và J là trọng tâm tam giác SAB và SAD nên: SJ/SH = SI/SK = 2/3

⇒ IJ // HK

+ Xác định giao tuyến của (IJM) và (ABCD):

+ Trong mp (ABCD); Mx cắt BC tại N

⇒ Thiết diện của hình chóp với mp(IJM) là tứ giác IJMN

+ Lại có: IJ // MN

⇒ Tứ giác IJMN là hình thang

Chọn C

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là điểm trên cạnh SB sao cho SM/SB = 1/4. Gọi H; K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để thiết diện của hình chóp cắt bởi (HKM) là hình bình hành?

A. AB = 2CD

B. AB = 3CD

C. AB = 4CD

D. Thiết diện không thể là hình bình hành

Lời giải

+ Xét hình thang ABCD có H và K lần lượt là trung điểm của AD và BC.

⇒ HK là đường trung bình của hình thang.

⇒ HK // AB // CD.

+ Xác định giao tuyến của mp(HKM) và (SAB):

+ Trong mp(SAB); Mx cắt SA tại N

⇒ Thiết diện là tứ giác HKMN.

+ Để thiết diện là hình bình hành khi : MN = HK.

+ Lại có: HK = (AB + CD)/2 ( tính chất đường trung bình của hình thang ) (1)

+ Do MN // AB nên áp dụng hệ quả định lí Ta-let:

SM/SB = MN/AB = 1/4. ⇔ MN = (AB)/4 (2)

Từ ( 1) và (2) suy ra: (AB + CD)/2 = (AB)/4

⇔ 4( AB + CD) = 2AB ⇔ 2AB + 4CD = 0

Vô lí vì AB > 0 và CD > 0

⇒ Thiết diện của hình chóp cắt bởi (HKM) không thể là hình bình hành.

Chọn D

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng (P) với hình chóp S.ABCD là hình gì? biết (P) là mặt phẳng qua điểm M và song song với SC; AD.

A. Tam giác B. Tam giác cân C. tứ giác D. Hình thang

Lời giải:

+ Qua M kẻ các đường thẳng MQ // AD và MO // SC

Ta có: SC và AD lần lượt song song với mặt phẳng (OMQ) nên (OMQ) ≡ (P)

+ Dễ dàng tìm được: (OMQ) ∩ (ABCD) = NP, với NP // MQ // BC và O ∈ NP. Từ đó ta có:

vậy thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp là hình thang MNPQ

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M; N là hai điểm trên SB; CD và (P) là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) là?

A. Tam giác cân B. Tứ giác C. Hình thang D. Tam giác hoặc tứ giác

Lời giải:

Chọn C

+ Ta xác định mp ( P) và tìm giao tuyến của mp(P) với các mặt của hình chóp.

- Qua N kẻ NP // SC

Ta có: Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng khác - Toán lớp 11

Từ đó ta có: (MNP) là mặt phẳng qua MN và song song với SC

Vậy P ≡ (MNP)

⇒ Thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp là tứ giác MPNQ

- theo cách dựng ta có; MP // NQ (cùng // SC)

⇒ MPNQ là hình thang.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và song song với SA, mặt phẳng (α) cắt SC tại K. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. SK = 2KC

B. SK = KC

C. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(α) là tứ giác

D. Tất cả sai

Lời giải:

Chọn B

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Do mặt phẳng (α) qua BD nên O ∈ (α)

+ Trong tam giác SAC, kẻ OK song song SA (K ∈ SC)

+ Trong tam giác SAC ta có

Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng khác - Toán lớp 11 là đường trung bình của ΔSAC

Vậy SK = KC

+ Mp(α) ≡ mp(KBD) nên thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(KBD) là tam giác KBD.

Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD // BC và AD = 2 BC, M là trung điểm SA. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là

A. tam giác B. hình bình hành. C. hình thang vuông. D. hình chữ nhật.

Lời giải:

Chọn B

+ Ta có: Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng khác - Toán lớp 11

⇒ Mx // BC // AD; gọi Mx cắt SD tại N

⇒ Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp( MBC) là tứ giác MNCB

+ Ta có: MN // AD // BC nên MNCB là hình thang

Lại có MN // AD và M là trung điểm SA

⇒ MN là đường trung bình của tam giác SAD và MN = (1/2)AD = BC

⇒ thiết diện MNCB là hình bình hành.

Câu 5: Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC. Mặt phẳng (α) qua và M song song với AB và CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi (α) là

A. hình bình hành B. hình chữ nhật C. hình thang D. hình thoi.

Lời giải:

Chọn A

+ Trên mp(ABC) kẻ MN // AB; N ∈ BC

Trên mp(BCD) kẻ NP // CD; P ∈ BD

⇒ (α) chính là mặt phẳng (MNP)

Gọi giao điểm của Px và AD là Q. Vậy MN // PQ // AB (1)

Khi đó, thiết diện của hình chóp cắt bởi mp( MNP) là tứ giác MNPQ.

+ Ta có; 3 mp(MNP); mp(ACD) và mp(BCD) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến là MQ; NP và CD

⇒ MQ // NP // CD (định lí giao tuyến 3 mặt phẳng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra thiết diện MNPQ là hình bình hành

Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I; J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB.

Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (IJG) và hình chóp là một hình bình hành.

Lời giải:

+ Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(IJG):

Ta có ABCD là hình thang và I; J là trung điểm của AD; BC

⇒ IJ là đường trung bình của hình thang ABCD và IJ // AB.

Giao tuyến của mp (IJG) và mp (SAB):

+ Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNIJ

Do G là trọng tâm tam giác SAB và MN // AB nên theo hệ quả định lí Ta-let ta có: MN/AB = SG/SE = 2/3 (với E là trung điểm của AB)

⇒ MN = (2/3)AB

+ Lại có IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên IJ = (1/2)(AB + CD)

Vì MN // IJ nên MNIJ là hình thang

Do đó MNIJ là hình bình hành khi MN = IJ

Vậy thết diện là hình bình hành khi AB = 3CD

Chọn D

Câu 7: Cho tứ diện ABCD các cạnh bằng nhau. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. Hỏi thiết diện của tứ diện với mp(IJK) là hình gì?

A. Tam giác

B. Tứ giác

C. Hình thang

D. Hình thang cân

Lời giải:

+ Xét tam giác ABC có I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC nên

IJ là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ IJ // AB

+ Ta tìm giao tuyến của mp(IJK) và (ABD):

+ Trong mp(ABD); kẻ Kx // IJ // AB và Kx cắt AD tại H

⇒ Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp( IJK) là hình thang IJKH.

+ Lại có; tứ diện ABCD có các cạnh bằng nhau nên :

ΔACD = ΔBCD (c.c.c)

⇒ IH = JK

Vậy thiết diện IJKH là hình thang cân

Chọn D

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có đáp án hay khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 11

15 dạng bài Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian chọn lọc - Toán lớp 11