Trong các trường hợp sau, làm thế nào để xác định được tọa độ của điểm: a) Là hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng cho trước

Ôn tập chương 3

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 8 trang 109 sgk Hình Học 12 nâng cao được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp bạn biết cách làm bài tập môn Toán 12.

Bài 8 (trang 109 sgk Hình Học 12 nâng cao): Trong các trường hợp sau, làm thế nào để xác định được tọa độ của điểm:

a) Là hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng cho trước.

b) Là hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng cho trước.

c) Đối xứng với một điểm cho trước qua một mặt phẳng cho trước.

Lời giải:

a) Để xác định tọa độ hình chiếu của điểm A(x₀,y₀,z₀) lên mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0 ta làm như sau:

+ Viết phương trình đường thăng Δ đi qua A và Δ vuông góc với (α), khi đó (α) có phương trình:

Trong đó vectơ n→(A,B,C) là vectơ pháp tuyến của (α) lại chính là vectơ chỉ phương của Δ (vì Δ ⊥ (α).

+ Tìm tọa độ giao điểm của Δ và (α) là nghiệm của hệ

Giao điểm tìm được chính là hình chiếu của A lên mp(α).

b) Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm A(x₀,y₀,z₀) lên đường thẳng

ta làm như sau:

+ viết phương trình mặt phẳng đi qua A(x₀,y₀,z₀) và vuông góc với d, đó là mặt phẳng đi qua A(x₀,y₀,z₀) và nhận vectơ chỉ phương của d là u→(a,b,c) là vectơ pháp tuyến, nên mặt phẳng đó có phương trình là: a(x-x₀ )+b(y-y₀ )+c(z-z₀ )=0.

+ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng trên ta được hình chiếu vuông góc của A lên d.

c) Để tìm điểm đối xứng A’ của A(x₀,y₀,z₀) qua mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0 ta làm như sau:

+ Tìm hình chiếu vuông góc H của A lên mp(α):

+ Vì A’ đối xứng với A lên H là trung điểm của đoạn AA’, từ đó ta tìm được tọa độ A’ qua hệ thức: