30 Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Toán 10 Chương 7 Kết nối tri thức (có đáp án)

Đáp án đúng là: C

Gọi phương trình của Elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$có độ dài trục lớn $A_1{A}_2=$ 2a và độ dài trục bé là $B_1{B}_2=$ 2b. Khi đó, xét  $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+y^2=4$ $\iff \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{4}=1$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=64\\ b^2=4\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=8\\ b=2\end{array}\right.$

$\Rightarrow A_1{A}_2+B_1{B}_2=$ 2.a + 2.b = 28 + 2.2 = 20.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{OM}=\left(a;b\right)$ => đường thẳng OM có VTCP: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OM}=\left(a;b\right).$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{d}_1:x-2y+1=0\\ d_2:-3x+6y-10=0\end{array}\right.$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-2y+1=0\\ -3x+6y-10=0\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}3x-6y+3=0\\ -3x+6y-10=0\end{array}\right.$⇔ -7 = 0 (vô lý)

Suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm

Vì vậy hai đường thẳng song song.

Đáp ứng đúng là: B

Ta có: $d\perp Oy:x=0\to {\overrightarrow{u}}_d=\left(1;0\right)$, mặt khác $M\left(6;-10\right)\in d$

Phương trình tham số $d:\left\{\begin{array}{l}x=6+t\\ y=-10\end{array}\right.$ , với t = -4 ta được $d:\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-10\end{array}\right.$

hay A (2; -10) ∈ d $\to d:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-10\end{array}\right.$

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{d}_1:x+\sqrt{3}y=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_1=\left(1;\sqrt{3}\right)\\ d_2:x+10=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_2=\left(1;0\right)\end{array}\right.{\overrightarrow{n}}_1{\overrightarrow{n}}_2$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1;d_2$

Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:

$\cos \phi =\frac{\left|1+0\right|}{\sqrt{1+3}.\sqrt{1+0}}=\frac{1}{2}$ => $\phi ={60}^{\circ }$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{d}_1:3x-2y-6=0\\ d_2:6x-2y-8=0\end{array}\right.$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x-2y-6=0\\ 6x-2y-8=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-2y=6\\ 3x=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}\\ y=-2\end{array}\right.$

Suy ra hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm.

Ta lại có: d₁ có VTPT $\overrightarrow{n_1}$ = (3; -2) và d₂ có VTPT $\overrightarrow{n_2}$= (6; -2).

$\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}$= 3.6 + (-3).(-2) = 18 + 6 = 24 ≠ 0. Do đó d₁ và d₂ không vuông góc.

Vậy hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc.

Đáp án đúng là : D

Ta có: Vectơ chỉ phương của AB là ${\overrightarrow{u}}_{AB}=\overrightarrow{AB}=\left(-2;6\right)\to {\overrightarrow{n}}_{AB}=\left(3;1\right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng qua hai điểm A, B.

Mặt khác A (3; -1) $\in AB$, suy ra: $AB:3\left(x-3\right)+1\left(y+1\right)=0$ hay $AB:3x+y-8=0$

Đáp án đúng là: B

Cho $F_1,F_2$ cố định với $F_1{F}_2=$ 2c (c > 0). Hypebol (H) là tập hợp điểm M sao cho $\left|M{F}_1-M{F}_2\right|=2a$ với a là một số không đổi và a  < c.

Đáp án đúng là: C

+) Giao điểm của hai đường thẳng:

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x-3y+4=0\\ 2x+3y-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\right.$, vậy điểm A (-1; 1) là giao điểm của hai đường thẳng

+) Khoảng cách từ A đến ∆: 3x + y + 4 = 0:

$d\left(A;\Delta \right)=\frac{\left|3.(-1)+1.1+4\right|}{\sqrt{9+1}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

Vậy khoảng cách giữa giao điểm của hai đường thẳng đến đường thẳng ∆ là $\frac{\sqrt{10}}{5}$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d cần tìm song song với đường thẳng – x + 2y + 3 = 0 nên có VTCP là: $\overrightarrow{u}=\left(-1;2\right)$

Do đó phương trình tham số của đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và nhận $\overrightarrow{u}=\left(-1;2\right)$ làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-2t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$

Đáp án đúng là: D

Phương trình chính tắc của parabol $\left(P\right):y^2=2px$

$\Rightarrow p=\frac{3}{4}$ Phương trình đường chuẩn là $x=-\frac{p}{2}=-\frac{3}{8}$

Đáp án đúng là: A.

Thay tọa độ điểm M lần lượt vào các phương trình đường thẳng, ta thấy:

+) $d_1:\left\{\begin{array}{l}1=3+2t\\ -1=t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=-1\\ t=-1\end{array}\right.$ (luôn đúng). Do đó điểm M thuộc đường thẳng d₁.

+) $d_2:\left\{\begin{array}{l}1=-t\\ -1=-2+3t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=-1\\ t=\frac{1}{3}\end{array}\right.$(vô lí). Do đó điểm M không thuộc đường thẳng d₂.

+) $d_3:\left\{\begin{array}{l}1=3+t\\ -1=-2t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=-2\\ t=\frac{1}{2}\end{array}\right.$(vô lí). Do đó điểm M không thuộc đường thẳng d₃.

+) $d_4:\left\{\begin{array}{l}1=3t\\ -1=-2\end{array}\right.$(vô lí). Do đó điểm M không thuộc đường thẳng d₄.

 Vậy điểm M thuộc vào đường thẳng d₁.

Đáp án đúng là: C

Ta có: Bán kính của đường tròn R = OI = $\sqrt{{(1-0)}^2+{(-5-0)}^2}=\sqrt{26}$

Phương trình đường tròn $\left(C\right):\left\{\begin{array}{l}I\left(1;-5\right)\\ R=OI=\sqrt{26}\end{array}\right.$ là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2=26$

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm của A và B, ta có: M $\left(\frac{1+3}{2};\frac{3+(-1)}{2}\right)$ = (2; 1).

Đường tròn (C) có tâm I (-2; -2) nên tiếp tuyến tại M có VTPT là $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{IM}=\left(4;3\right)$ nên có phương trình là: 4.(x – 2) + 3.(y – 1) = 0$\iff$ 4x + 3y – 11 = 0.

Đáp án đúng là: C

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là: $d\left(M,\Delta \right)=\frac{\left|\left.a{x}_0+b{y}_0+c\right|\right.}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta có:

$d\left(M;\Delta \right)=\frac{\left|3.(-1)-4.1-3\right|}{\sqrt{9+16}}=\frac{10}{5}=2$

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là 2.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $$\begin{gathered} \left(C\right):x^2+{\left(y+4\right)}^2=5\Rightarrow I\left(0;-4\right),R=\sqrt{5} \\ \Rightarrow a = 0, b = -4 \\ \Rightarrow S = 2a + b = 2.0 + (-4) = -4. \end{gathered}$$

Đáp án đúng là: B

Gọi phương trình của Elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ = 1, có độ dài trục lớn A₁A₂ = 2a.

Xét (E): $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$ = 1 => $\left\{\begin{array}{l}{a}^2=25\\ b^2=9\end{array}\right.$

=> $\left\{\begin{array}{l}a=5\\ b=3\end{array}\right.$=> A₁A₂ = 2.5 = 10.

Đáp án đúng là: A

Ta có: 

$\left\{\begin{array}{l}{d}_1:2x+2\sqrt{3}y+5=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_1=\left(1;\sqrt{3}\right)\\ d_2:y-6=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_2=\left(0;1\right)\end{array}\right.$${\overrightarrow{n}}_1$; ${\overrightarrow{n}}_2$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁; d₂.

Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:

$\cos \phi =\frac{\left|\sqrt{3}\right|}{\sqrt{1+3}.\sqrt{0+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ => $\phi ={30}^{\circ }$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=16\Rightarrow$ Tâm I (1; -3), bán kính R = $\sqrt{16}$= 4.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\left(E\right):4x^2+9y^2=36\iff \left(E\right):\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$

=> $\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=2\\ c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5}\end{array}\right.$

Do đó, (E) có tiêu cự bằng 2.c = $2\sqrt{5}$, trục lớn bằng 6, trục bé bằng 4, tỉ số $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

Đáp án đúng là: A

Đường tròn có tâm I (1; 2), bán kính R = 3 có phương trình là:

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=9$

$\iff x^2+y^2-2x-4y-4=0$

Đáp án đúng là: D

Gọi phương trình của Elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ = 1, có độ dài trục bé B₁B₂ = 2b.

Xét $\left(E\right):4x^2+16y^2=1\iff \frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{16}}=1$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=\frac{1}{4}\\ b^2=\frac{1}{16}\end{array}\right.$ $\Rightarrow b=\frac{1}{4}\Rightarrow B_1{B}_2=2.\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$

Đáp án đúng là: B

+) Viết phương trình đường thẳng BC; độ dài BC

- Ta có: B(1; 5); C(3; 1) $\overrightarrow{BC}$ = (2; -4) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC.

Ta chọn $\overrightarrow{n}$ = (2; 1) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC ($\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{BC}$), ta viết được phương trình đường thẳng qua BC như sau: 2.(x – 1) + 1.(y – 5) = 0 hay 2x + y – 7 = 0

- Độ dài BC: BC = $\sqrt{{(3-1)}^2+{(1-5)}^2}=\sqrt{20}$ = $2\sqrt{5}$

+) Tính độ dài đường cao kẻ từ A:

Độ dài đường cao kẻ từ A chính là khoảng cách từ A đến phương trình đường thẳng qua BC, ta có:

$h_A=d\left(A;BC\right)=\frac{\left|2.3+1.(-4)-7\right|}{\sqrt{4+1}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

+) Diện tích tam giác ABC:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.h_A.BC=\frac{1}{2}.\sqrt{5}.2\sqrt{5}$ = 5.

Đáp án đúng là: C

Đường tròn (C) có tâm I (1; -2) nên tiếp tuyến tại A có VTPT là

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{IA}=$(2; -2) = 2(1; -1)

Nên có phương trình là: 1(x - 3) - 1.(y + 4) = 0 ⇔ x - y - 7 = 0

Đáp án đúng là: B

Ta có: Đường tròn (C) có tâm I(-2; -2), R = $\sqrt{5}$ và tiếp tuyến có dạng

∆: 2x – y + c = 0 (c ≠ -18)

Bán kính đường tròn:

$$\begin{gathered} R=d\left(I;\Delta \right)\iff \frac{\left|c-2\right|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5} \\ \iff \left|c-2\right|=5 \iff \left[\begin{array}{l}c-2=5\\ c-2=-5\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}c=7\\ c=-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

suy ra: ∆:2x – y + 7 = 0 hoặc ∆: 2x – y – 3 = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{d}_1:7x-3y+6=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_1=\left(7;-3\right)\\ d_2:2x-5y-4=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_2=\left(2;-5\right)\end{array}\right.{\overrightarrow{n}}_1{\overrightarrow{n}}_2$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1,d_2$ . Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:

$\cos \phi =\frac{\left|14+15\right|}{\sqrt{49+9}.\sqrt{4+25}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \phi =\frac{\pi }{4}$

Đáp án đúng là : D

Vì điểm A thuộc vào đường thẳng đã cho nên thay tọa độ điểm A vào phương trình ta được :

3.3 + (-1) – 2c = 0

⇔ 8 – 2c = 0

⇔ c = 4. Do đó D đúng.

Đáp án đúng là : D

Phương trình đoạn chắn đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}A\left(-5;0\right)\in Ox\\ B\left(0;2\right)\in Oy\end{array}\right.$

$\Rightarrow$Phương trình đường thẳng:$\frac{x}{-5}+\frac{y}{2}=1\iff$2x – 5y + 10 = 0.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{d}_1:6x-5y+15=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_1=\left(6;-5\right)\\ d_2:\left\{\begin{array}{l}x=10-6t\\ y=1+5t\end{array}\right.\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_2=\left(5;6\right)\end{array}\right.{\overrightarrow{n}}_1{\overrightarrow{n}}_2$  lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1,d_2$ . Nhận thấy ${\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2$ = 6.5 + 6.(-5) = 0 suy ra hai đường thẳng vuông góc với nhau nên $\phi ={90}^{\circ }$