4 cách giải phương trình vô tỉ cực hay - Toán lớp 9

---

4 cách giải phương trình vô tỉ cực hay

Với 4 cách giải phương trình vô tỉ cực hay Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải phương trình vô tỉ từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

Phương pháp giải

- Cách 1: Nâng lên cùng một lũy thừa ở cả hai vế.

+ Phương trình

+ Phương trình √A = √B ⇔ A = B.

+ Phương trình A² = B² ⇔ |A| = |B| ⇔ A = ±B

- Cách 2: Đặt ẩn phụ.

- Cách 3: Sử dụng biểu thức liên hợp, đánh giá.

- Một số phương trình đặc biệt có cách giải riêng biệt khác.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp bình phương để giải các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a) √x = 3 (đkxđ: x ≥ 0)

⇔ x = 3² = 9 (t/m)

Vậy phương trình có nghiệm x = 9.

b) (đkxđ: x ≥ -1)

⇔ x + 1 = 4

⇔ x = 3 (t/m)

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

c) (đkxđ: x ≥ -3/2 )

⇒ 2x + 3 = x²

⇔ x² – 2x – 3 = 0

⇔ (x + 1)(x – 3) = 0

⇔ x = -1 hoặc x = 3

Thử lại chỉ có giá trị x = 3 thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

d) (đkxđ: x ≥ 1).

⇒ x - 1 = (x-3)²

⇔ x – 1 = x² – 6x + 9

⇔ x² – 7x + 10 = 0

⇔ (x – 2)(x – 5) = 0

⇔ x = 2 hoặc x = 5

Thử lại chỉ có giá trị x = 5 thỏa mãn.

Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải:

a) Đặt

⇒ x² + 5x + 3 = t²

⇒ 2x² + 10x = 2(x² + 5x) = 2. (t² - 3) = 2t² - 6

Khi đó phương trình trở thành:

t + 2t² - 6 - 15 = 0 ⇔ 2t² + t – 21 = 0

⇔ (t-3) (2t + 7/2) = 0 ⇔ t = 3 (T/M) hoặc t = -7/2(L).

Với t = 3 thì

⇔ x² + 5x + 3 = 9

⇔ x² + 5x - 6 = 0

⇔ (x-1) (x+6) = 0

⇔ x = 1 hoặc x = -6

Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1 và x = -6.

b) Đặt ⇒ x = t³.

Khi đó phương trình trở thành: t³ + t – 2 = 0 ⇔ (t – 1)(t² + t + 2) = 0 ⇔ t = 1 (Vì t² + t + 2 > 0 với mọi t).

Với t = 1 ⇒ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

c) (Đkxđ: x ≠ 0 và x - 1/x ≥ 0 ).

Chia cả hai vế cho x ta được:

Phương trình trở thành: t² + 2t - 3 = 0

⇔ (t-1)(t+3) = 0 ⇔ t = 1(t/m) hoặc t = -3(l)

Với t = 1 ⇒

⇔ x² – 1 = x

⇔ x² – x – 1 = 0

⇔ (x-1/2)² = 5/4

Vậy phương trình có hai nghiệm

d) Đặt

Ta thu được hệ phương trình :

⇔ 5x = 5 ⇔ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau đây:

Hướng dẫn giải:

a) Phương pháp giải: Phân tích thành nhân tử

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

b)

Điều kiện xác định : ⇔ x = 7.

Thay x = 7 vào thấy không thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) Phương pháp giải: Đánh giá

VT = VP ⇔

Vậy phương trình vô nghiệm.

+ TH1: Xét ⇔ x-1 ≥ 9 ⇔ x ≥ 10 .

Phương trình trở thành:

⇔ x – 1 = 81/4 ⇔ x = 85/4 (t.m)

+ TH2: Xét (không tồn tại)

+ TH3: Xét ⇔ 5 ≤ x ≤ 10 .

Phương trình trở thành:

⇔ 1 = 4 (vô nghiệm)

+ TH4: Xét ⇔ x ≤ 5.

Phương trình trở thành:

⇔ x - 1 = 1/4 ⇔ x = 5/4 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5/4 và x = 85/4

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Nghiệm của phương trình là :

A. x = 6    B. x = 3    C. x = 9    D. Vô nghiệm.

Lời giải:

Đáp án: A

Bài 2: Phương trình có số nghiệm là:

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3.

Lời giải:

Đáp án: C

(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)

⇔ (x + 1)(x + 3) = 8

⇔ x² + 4x + 3 = 8

⇔ x² + 4x – 5 = 0

⇔ x² + 5x – x – 5 = 0

⇔ (x + 5)(x – 1) = 0

⇔ x = -5 hoặc x = 1 (t/m)

Vậy phương trình có hai nghiệm

Bài 3: Tổng các nghiệm của phương trình x - 5√x + 6 = 0 là:

A. 5    B. 9    C. 4    D. 13.

Lời giải:

Đáp án: D

Đkxđ: x ≥ 0.

x - 5√x + 6 = 0

⇔ x - 3√x - 2√x + 6 = 0

⇔ (√x - 3) (√x - 2) = 0

(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 13.

Bài 4: Phương trình có nghiệm là:

A. x = 4    B. x = -3    C. x = -3 và x = 4    D. Vô nghiệm.

Lời giải:

Đáp án: A

(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)

⇒ 25 – x² = (x – 1)²

⇔ 25 – x² = x2 – 2x + 1

⇔ 2x² – 2x – 24 = 0

⇔ x² – x – 12 = 0

⇔ x² – 4x + 3x – 12 = 0

⇔ (x – 4)(x + 3) = 0

⇔ x = 4 hoặc x = -3.

Thử lại chỉ có x = 4 là nghiệm của phương trình.

Bài 5: Phương trình có số nghiệm là:

A. 0    B. 1    C. 2    D. Vô số.

Lời giải:

Đáp án: D

(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)

⇔ |x-3| = x-3 ⇔ x ≥ 3

Vậy phương trình có nghiệm đúng với mọi x ≥ 3 hay phương trình có vô số nghiệm.

Bài 6: Giải các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a) (đkxđ: x ≥ -3/2 )

⇔

⇔ 2x + 3 = 1/4

⇔ 2x = -11/4

⇔ x = -11/8

Vậy phương trình có nghiệm x = -11/8 .

b) (đkxđ: x ≥ 0)

⇔ 3x = 144

⇔ x = 48

c) (đkxđ: x ≥ -1)

⇔ x + 1 = 25

⇔ x = 24.

Vậy phương trình có nghiệm x = 24.

Bài 7: Giải các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a)

⇔ x² + x + 1 = 2x² – 5x + 9

⇔ x² – 6x + 8 = 0

⇔ x² – 2x – 4x + 8 = 0

⇔ (x – 2)(x – 4) = 0

⇔ x = 2 hoặc x = 4.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 hoặc x = 4.

b)

⇒ 3x² + 4x + 1 = (x – 1)²

⇔ 3x² + 4x + 1 = x² – 2x + 1

⇔ 2x² – 6x = 0

⇔ 2x(x – 3) = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 3.

Thử lại chỉ có x = 3 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

⇔ x² + 5x - 2 = 4

⇔ x² + 5x - 6 = 0

⇔ (x + 6)(x – 1) = 0

⇔ x = 1 hoặc x = -6

Thử lại cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 hoặc x = 1.

⇒ 4(x+1)(2x+3) = (21-3x)²

⇔ 4(2x² + 2x + 3x + 3) = 441 – 126x + 9x²

⇔ 8x² + 20x + 12 = 441 – 126x + 9x²

⇔ x² – 146x + 429 = 0.

⇔ x² – 3x – 143x + 429 = 0

⇔ (x – 3)(x – 143) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 143.

Thử lại cả hai đều thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = 143.

Bài 8: Giải các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a)

Đặt

+ Th1: ⇔ x = 1.

+ Th2: ⇔ x = -7.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -7.

b) (đkxđ: x ≥ -1)

Đặt

⇒ a² - b² = (2x+3) - (x+1) = x + 2

⇒ a – b = a² – b²

⇔ (a – b)(a + b) – (a – b) = 0

⇔ (a – b)(a + b – 1) = 0

⇔ a = b hoặ a + b = 1

+ Th1: a = b ⇒

⇔ 2x + 3 = x + 1 ⇔ x = -2 < -1 (Loại)

+ Th2: a + b – 1 = 0.

Mà a ≥ 1; b ≥ 0 nên a + b ≥ 1 hay a + b – 1 ≥ 0.

Phương trình chỉ xảy ra ⇔ ⇔ x = -1 .

Vậy phương trình có nghiệm x = -1.

c) (đkxđ: x² – 2x – 3 ≥ 0)

Phương trình trở thành: t² + 3t - 4 = 0

⇔ t² + 4t – t – 4 = 0

⇔ (t + 4)(t – 1) = 0

⇔ t = -4 (L) hoặc t = 1 (T/M)

⇔

⇔ x² – 2x – 3 = 1

⇔ x² – 2x – 4 = 0

⇔ (x – 1)² = 5

Bài 9: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

(1)

Ta có:

⇒ VT (1) = ≥ 2 + 3 = 5.

VP (1) = 4 – 2x – x² = 5 – (1 + 2x + x²) = 5 – (x + 1)² ≤ 5.

VT = VP ⇔ ⇔ x = -1.

Thử lại x = -1 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = -1.

Bài 10: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

(Đkxđ: x ≥ -1 )

+ TH1:

Khi đó phương trình trở thành:

⇔ x = 3 (t.m)

+ TH2: ⇔ x < 3.

Khi đó phương trình trở thành:

⇔ 4 = 4 (đúng với mọi x)

Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn -1 ≤ x ≤ 3.