Góc ở tâm. Số đo cung liên hệ giữa cung và dây - Toán lớp 9

---

Góc ở tâm. Số đo cung liên hệ giữa cung và dây

Với Góc ở tâm. Số đo cung liên hệ giữa cung và dây Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Góc ở tâm. Số đo cung liên hệ giữa cung và dây từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

A. Phương pháp giải

1. Định nghĩa

- Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc ở tâm.

- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

- Số đo của cung lớn bằng trừ đi số đo của cung nhỏ.

- Số đo của nửa đường tròn bằng.

2. Trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

3. Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì:

Sđ AB = Sđ AC + Sđ CB

4. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

5. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho đường tròn (O, R) và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Gọi MA, MB là hai tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA và OB nếu:

a) ∠AMB = 70^o

b) MA = R

c) MO = 2R

Hướng dẫn giải

Vì MA và MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B nên: MA ⊥ OA, MB ⊥ OB

Suy ra: ∠MAO = ∠MBO = 90^o

a)

Xét tứ giác MAOB có:

∠AMB + ∠AOB + ∠MAO + ∠MBO = 360^o

⇔ ∠AOB = 360^o - (∠AMB + ∠MAO + ∠MBO)

= 360^o - (70^o+ 90^o + 90^o)

= 110^o

Vậy số đo góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB bằng 110^o .

b)

Nếu MA = R

Xét ΔMAO có: MA = AO = R và ∠MAO = 90^o

=> Δ MAO vuông cân tại A

=> ang;MOA = 45^o

Vậy ∠AOB = 2.∠MOA = 90^o

c)

Nếu MO = 2R

Xét ΔMAO vuông tại A có: MO = 2.AO

=> ∠AMO = 30^o => ∠AOM = 60^o

Vậy: ∠AOB = 2.∠AOM = 120^o

Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và dây AB không đi qua O. Trên dây AB lấy các điểm M, N sao cho AM = MN = NB. Tia OM, ON cắt (O) lần lượt tại C và D.

Hướng dẫn giải

Thât vậy, xét ΔAOM và ΔBON có:

OA = OB = R

∠OAM = ∠OBN (do ΔOAB cân tại O)

AM = BN (gt)

Suy ra ΔAOM = ΔBON(c-g-c)

Suy ra ∠AOM = ∠BON (hai góc tương ứng)

Gọi I là trung điểm của OB. Suy ra NI là đường trung bình của ΔOBM nên NI // OM => ∠MON = ∠ONI(so le trong) (1)

Mặt khác ta có: OB = OC = R, mà M ∈ OC => OM < OB hay NI < OI.

Xét ΔONI có NI < OI nên: ∠NOI < ∠ONI (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∠NOI < ∠MON

Bài 3: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ dây AM của đường tròn (O) và dây BN của đường tròn (O’) sao cho AM // BN.

Hướng dẫn giải

Vì AM // BN (gt) => ∠MAB = ∠ABN (so le trong) (1)

Mặt khác: OA = OB = O'A = O'B nên tứ giác OAO’B là hình thoi, do đó ∠OAB = ∠ABO' (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠MAO = ∠NBO'

Ta có: ΔMOA cân tại O và ΔNO'B cân tại O' có góc ở đáy bằng nhau nên ∠MOA = ∠NO'B

Do đó: ΔMOA = ΔNO'B(c.g.c) => AM = BN

Mặt khác hai đường tròn (O) và (O”) bằng nhau nên

Bài 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm A và B (R < R'). Kẻ đường kính BOC và BO’D.

a) Chứng minh rằng: Ba điểm C, A, D thẳng hàng.

b) So sánh số đo hai cung nhỏ AC và AD.

Hướng dẫn giải

a) Vì ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên ΔABC vuông tại A hay ∠BAC = 90^o .

Tương tự ta có: ∠BAD = 90^o

Suy ra: ∠CAD = ∠BAD + ∠BAC = 180^o nên 3 điểm C, A, D thẳng hàng.

b) Xét đường tròn (O) có:

Xét đường tròn (O’) có:

Từ đó suy ra

Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C thuộc đường tròn (O) sao cho SđBC = 30^o, điểm M thuộc cung AC nhỏ. Gọi D và E là các điểm đối xứng với M qua AB và OC. Chứng minh rằng: ΔDOE đều.

Hướng dẫn giải

Vì SđBC = 30^o => ∠BOC = 30^o

Gọi I là giao điểm của MD và AB, J là giao điểm của ME và OC.

Theo giả thiết: M và D đối xứng với nhau qua AB, mà M thuộc đường tròn (O) nên D cũng thuộc đường tròn (O). Tương tự E thuộc đường tròn (O).

Tứ giác MIOJ có ∠I = ∠J = 90^o

=> ∠IMJ + ∠IOJ = 180^o

=> ∠IMJ = 180^o - ∠IOJ = ∠BOC = 30^o

Ta có ΔMOD và ΔMOE cân tại O nên:

∠MOD = 180^o - 2∠DMO

∠MOE = 180^o - 2∠EMO

=> ∠MOD + ∠MOE = 360^o - 2(∠DMO + ∠EMO)

⇔ 360^o - ∠DOE = 360^o - ∠IMJ

⇔ ∠DOE = 2∠IMJ = 60^o

Vậy ΔDOE đều.

Bài 6: Cho điểm M chuyển động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By với đường tròn (O). Tiếp tuyến tại M với (O) cắt Ax tại C và cắt By tại D; các đường thẳng CO và OD cắt (O) lần lượt tại E và F.

a) Tính Sđ EF.

b) Tìm tập hợp tâm I của đường tròn ngoại tiếp .

Hướng dẫn giải

a) Vì CA và BM là hai tiếp tuyến với (O) nên OC là tia phân giác của ∠AOM .

Tương tự ta có OD là tia phân giác của ∠BOM

Mà ∠AOM và ∠BOM là hai góc kề bù, suy ra OC ⊥ OD

Vậy ta có ∠COD = 90^o hay SđEF = 90^o .

b) * Phần thuận:

Vì ΔCOD vuông tại O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ΔCOD là trung điểm của CD.

Dễ thấy tứ giác ABCD là hình thang có OI là đường trung bình nên OI//AC => OI ⊥ AB.

Vậy I chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với AB tại O.

* Phần đảo và giới hạn: Học sinh tự chứng minh.

Bài 7: Cho AB là dây cung của đường tròn (O), I là trung điểm của AB. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M tùy ý. Gọi giao điểm OI và MI với (O) lần lượt C và N. So sánh và .

Hướng dẫn giải

Kẻ OH ⊥ MN

Ta có: ΔOHI vuông tại H nên OH < OI.

Mà OH, OI lần lượt là các khoảng cách từ O đến hai dây MN và AB nên suy ra AB < MN. Do đó

Bài 8: Cho ΔABC đều. Vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính BC ra phía ngoài ΔABC. Gọi D và E là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho cungBD = cungDE = cungEC . AD và AE cắt BC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:

a) ΔABN ∼ ΔECN

b) BM = MN = NC

Hướng dẫn giải

b) Vì ΔABC và ΔOCE là hai tam giác đều có BC = 2OC nên suy ra AB = 2CE.

Lại có: ΔABN ∼ ΔECN (chứng minh a)

⇔ BN = 2NC do đó: BM = MN = NC.

Bài 9: Qua điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai cát tuyến MAB và MCD với đường tròn sao cho AB > CD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

a) MH > MK

b) ∠MOH > ∠MOK

Hướng dẫn giải

a) Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD nên OH ⊥ AB, OK ⊥ CD (quan hệ giữa đường kính và dây cung).

Ta có: AB > CD => OH < OK (liên hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm).

=> MH > MK

Vì ∠MHO = ∠MKO = 90^o nên H, K cùng thuộc đường tròn đường kính MO.

Trong đường tròn đường kính MO, ta có MH > MK

Mặt khác: ∠MOH = 1/2 SđMH

∠MOK = 1/2 SđMK

Từ đó suy ra: ∠MOH > ∠MOK .

Bài 10: Trên đường tròn (O; R), lấy lần lượt theo cùng một chiều các điểm A, B, C, D sao cho

Chứng minh rằng S_ΔAOB = S_ΔCOD .

Hướng dẫn giải

Kéo dài OC cắt đường tròn (O) tại E.

Do đó: ΔAOB = ΔEOD nên S_ΔAOD = S_ΔEOD (1)

Mặt khác: ΔEOD và ΔCOD có chung chiều cao kẻ từ D xuống EC và độ dài hai đáy EO = OC nên S_ΔEOD = S_ΔCOD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: S_ΔAOB = S_ΔCOD .