Cách xác định hàm số bậc nhất: tập xác định, đồng biến, nghịch biến - Toán lớp 9

---

Cách xác định hàm số bậc nhất: tập xác định, đồng biến, nghịch biến

Với Cách xác định hàm số bậc nhất: tập xác định, đồng biến, nghịch biến Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập xác định hàm số bậc nhất: tập xác định, đồng biến, nghịch biến từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

Phương pháp giải

+ Hàm số có dạng y = ax + b là hàm số bậc nhất ⇔ a ≠ 0.

+ Hàm số bậc nhất có tập xác định là tập R.

+ Hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Với điều kiện nào của m thì các hàm số dưới đây là hàm số bậc nhất?

a) y = (m-1)x + m

b) y = (m²-2x -3)x² + (m+1)x + m

c) y = √(m²-1).x + 2 .

Hướng dẫn giải:

a) y = (m-1)x + m là hàm số bậc nhất

⇔ m – 1 ≠ 0

⇔ m ≠ 1.

Vậy với mọi m ≠ 1 thì hàm số y = (m – 1)x + m là hàm số bậc nhất.

b) y = (m²-2x -3)x² + (m+1)x + m là hàm số bậc nhất

⇔ m - 3 = 0 ⇔ m = 3

Vậy với m = 3 thì hàm số y = (m²-2x -3)x² + (m+1)x + m là hàm số bậc nhất là hàm số bậc nhất.

c) y = √(m²-1).x + 2 là hàm số bậc nhất

⇔ √(m²-1) ≠ 0

⇔ m² – 1 > 0

⇔ m > 1 hoặc m < -1.

Vậy với m > 1 hoặc m < -1 thì hàm số y = √(m²-1).x + 2 là hàm số bậc nhất.

Ví dụ 2: Tìm a để các hàm số dưới đây :

a) y = (a + 2)x + 3 đồng biến trên R.

b) y = (m² – m).x + m nghịch biến trên R.

Hướng dẫn giải:

a) y = (a + 2)x + 3 đồng biến trên R

⇔ a + 2 > 0

⇔ a > -2.

Vậy với mọi a > -2 thì hàm số y = (a + 2)x + 3 đồng biến trên R.

b) y = (m² – m)x + m nghịch biến trên r

⇔ m² – m < 0

⇔ m(m – 1) < 0

⇔ 0 < m < 1.

Vậy với 0 < m < 1 thì hàm số y = (m² – m)x + m nghịch biến trên R.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) = (m – 3)x + m² – 4m (1).

a) Tìm điều kiện của m để hàm số trên là hàm số bậc nhất.

b) Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến.

c) Tìm m để hàm số bậc nhất trên thỏa mãn f(-2) = 0.

d) Với m ở trên, tìm giá trị của x để y = 2.

Hướng dẫn giải:

a) y = f(x) = (m – 3)x + m² – 4m là hàm số bậc nhất

⇔ m – 3 ≠ 0

⇔ m ≠ 3.

Vậy m ≠ 3 thì hàm số (1) là hàm số bậc nhất.

b) y = f(x) là hàm đồng biến

⇔ m – 3 > 0

⇔ m > 3.

Vậy với m > 3 thì hàm số y = f(x) là hàm đồng biến.

c) Ta có : f(-2) = 0

⇔ (m – 3).(-2) + m² – 4m = 0

⇔ m² – 5m + 6 = 0

⇔ (m – 2)(m – 3) = 0

Vậy m = 2.

d) Với m = 2, hàm số trở thành y = f(x) = -x – 4.

y = 2 ⇔ - x – 4 = 2 ⇔ x = -6.

Vậy x = -6

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc nhất?

Lời giải:

Đáp án: B

Bài 2: Với giá trị nào của m dưới đây làm cho hàm số y = (m² – 1)x + 3 là hàm số bậc nhất?

A. m = 1    B. m = -1    C. m = 0    D. mọi m.

Lời giải:

Đáp án: C

Bài 3: Hàm số nào dưới đây là hàm số đồng biến ?

A. y = (√5 - √3)x +1    B. y = -√3x -3

C. y = -√3x    D. y = -3x+1 .

Lời giải:

Đáp án: A

Bài 4: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập số thực với mọi m?

A. y = m²x + 2    B. y = mx - 2

C. y = (1-m²)x + m    D. y = -m²x + 2m + 1

Lời giải:

Đáp án: D

Bài 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = (9-m²)x nghịch biến trên R.

A. 3    B. 5    C. 7    D. Vô số.

Lời giải:

Đáp án: D

Bài tập tự luận tự luyện

Bài 6: Tìm điều kiện của m để các hàm số sau là hàm số bậc nhất:

a) y = (m²-m-2)x + m

b) y = √(m²-m)x -x +1 .

Hướng dẫn giải:

a) y = (m²-m-2)x + m là hàm số bậc nhất

⇔ m² – m – 2 ≠ 0

⇔ (m+1)(m-2) ≠ 0

Vậy với m ≠ -1 và m ≠ 2 thì hàm số trên là hàm số bậc nhất.

b) y = √(m²-m)x -x +1 = x + √(m²-m) +1 là hàm số bậc nhất với mọi m.

Bài 7: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số dưới đây:

a) y = x+3

b) y = (1-√2)x+ √5 .

Hướng dẫn giải:

a) y = x+3 có hệ số a = 1 > 0 nên đồng biến trên R.

b) y = (1-√2)x+ √5 có hệ số a = 1-√2 < 0 nên nghịch biến trên R.

Bài 8: Cho hàm số bậc nhất y = f(x) = ax + b.

Tìm a, b biết f(0) = 1; f(-1) = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có: f(0) = 1 ⇒ a. 0 + b = 1 hay b = 1

f(-1) = 0 ⇒ a.(-1) + b = 0 hay –a + 1 = 0 ⇒ a = 1.

Vậy a = 1; b = 1.

Bài 9: Tìm các giá trị của m, n để hàm số: y = (m² – 5m + 6)x² + (m² + mn – 6n)x + 3 là hàm số bậc nhất.

Hướng dẫn giải:

Hàm số y = (m² – 5m + 6)x² + (m² + mn – 6n)x + 3 là hàm số bậc nhất

Từ (1) ⇔ (m – 2)(m – 3) = 0 ⇔

+ Với m = 2, thay vào (2) ta có: 2² + 2n - 6n ≠ 0 hay n ≠ 1 .

+ Với m = 3, thay vào (2) ta có: 3² + 3n – 6n ≠ 0 hay n ≠ 3.

Vậy với thì hàm số trên là hàm số bậc nhất.

Bài 10: Chứng minh rằng hàm số y = (-m² + m - 1)x + m luôn là hàm số bậc nhất. Hàm số này đồng biến hay nghịch biến?

Hướng dẫn giải:

Ta có: -m² + m – 1 = -(m² – m + 1/4) - 3/4 = -(m-1/2)² - 3/4 .

Với mọi m ta có : (m-1/2)² ≥0 ⇒ -(m-1/2)² ≤ 0 ⇒ -(m-1/2)² - 3 < 0

Do đó hàm số y = (-m² + m - 1)x + m luôn là hàm số bậc nhất và hệ số a = -m² + m - 1 < 0 với mọi m nên luôn nghịch biến trên R.