Bài toán hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau - Toán lớp 9

---

Bài toán hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau

Với Bài toán hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng (d₁): y = a₁x + b₁ và (d₂): y = a₂x + b₂.

+ (d₁) cắt (d₂) nếu a₁ ≠ a₂ .

+ (d₁) // (d₂) nếu a₁ = a₂ và b₁ ≠ b₂ .

+ (d₁) ≡ (d₂) nếu a₁ = a₂ và b1 = b₂.

Lưu ý: Nếu a₁.a₂ = -1 thì (d₁) vuông góc với d₂.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) y = 1/2x + 2 và y = -1/2x + 1 .

b) y = 2x + 3 và y = 2x – 3.

c) y = 2x + 1 và y = -1/2x

Hướng dẫn giải:

a) Đồ thị hàm số y = 1/2x + 2 có hệ số góc k₁ = 1/2

Đồ thị hàm số y = -1/2x + 1 có hệ số góc k₂ = -1/2 .

Vì k₁ ≠ k₂ nên hai đồ thị hàm số trên cắt nhau.

b) Đồ thị hàm số y = 2x + 3 có hệ số góc k₁ = 2.

Đồ thị hàm số y = 2x – 3 có hệ số góc k₂ = 2

Vì k₁ = k₂ nên đồ thị hai hàm số trên song song với nhau.

c) Đồ thị hàm số y = 2x + 1 có hệ số góc k₁ = 2

Đồ thị hàm số y = -1/2x có hệ số góc k₂ =

Vì k₁ ≠ k₂ nên hai đồ thị hàm số trên cắt nhau.

Hơn nữa k₁.k₂ = -1 nên hai đường thẳng trên vuông góc với nhau.

Ví dụ 2: Tìm m để hai đường thẳng y = (m + 1)x – 3 và y = (2m – 1)x + 4:

a) Song song     b) Vuông góc.

Hướng dẫn giải:

a) y = (m + 1)x – 3 và y = (2m – 1)x + 4 song song

⇔ m + 1 = 2m – 1

⇔ m = 2.

Vậy m = 2.

b) y = (m + 1)x – 3 và y = (2m – 1)x + 4 vuông góc

⇔ (m + 1)(2m – 1) = -1

⇔ 2m² + m – 1 = -1

⇔ 2m² + m = 0

⇔ m(2m + 1) = 0

Vậy với m= 0 hoặc m = -1/2 thì hai đường thẳng trên vuông góc.

Ví dụ 3: a) Tìm đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.

b) Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = 1/3x + 4 và đi qua A(2; -1).

Hướng dẫn giải:

a) Gọi đường thẳng cần tìm là (d): y = ax + b.

(d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 ⇒ a = 2.

(d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 ⇒ b = 4.

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 2x + 4.

b) Gọi đường thẳng cần tìm là (d’): y = kx + m

(d) vuông góc với đường thẳng y = 1/3x + 4 ⇔ k. 1/3 = -1 ⇔ k = -3.

(d) đi qua A(2; -1) ⇔ -1 = 2k + m = 2.(-3) + m ⇔ m = 5.

Vậy đường thẳng cần tìm là y = -3x + 5.

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Đồ thị của hàm số y = 2x + 1 và y = 2x – 1 :

A. Song song    B. Vuông góc    C. Cắt nhau    D. Trùng nhau.

Lời giải:

Đáp án: A

Bài 2: Đường thẳng y = 2x + 1 vuông góc với đường thẳng nào dưới đây ?

A. y = 2x + 3    B. y = -2x + 3

C. y = 1/2x    D. y= -1/2x

Lời giải:

Đáp án: D

Bài 3: Đường thẳng y = (2m – 3)x + 1 và đường thẳng y = -x + 3 song song nhau thì giá trị của m là :

A. -1    B. 0    C. 1    D. 2

Lời giải:

Đáp án: C

Bài 4: Hai đường thẳng y = (m – 2)x + 3 và y = mx – 1 vuông góc với nhau thì giá trị của m là :

A. m = 0    B. m = 1    C. m = 2    D. m = 3.

Lời giải:

Đáp án: B

Bài 5: Hàm số có đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1 và đi qua điểm A(-1 ; 2) là :

A. y = 2x + 4    B. y = -2x.

C. y = -1/2x + 3/2    D. y = -1/2x - 3/2 .

Lời giải:

Đáp án: C

Bài tập tự luận tự luyện

Bài 6: Tính góc tạo bởi hai đường thẳng y = -3x + 1 và y = 1/3x.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng (d₁) : y = -3x + 1 có hệ số góc k₁ = -3

Đường thẳng (d₂) : y = 1/3x có hệ số góc k₂ = 1/3 .

Ta có : k₁. k₂ = -1

⇒ (d₁) ⊥ (d₂).

Hay góc tạo bởi (d₁) và (d₂) là 90^o.

Bài 7: Cho hai đường thẳng (d₁) y = (2 – m²)x + m – 5 và (d₂) y = mx + 3m – 7.

a) Tìm m để d₁ // d₂.

b) Có giá trị nào của m để d₁ và d₂ trùng nhau không ?

Hướng dẫn giải:

a) d₁ // d₂

⇔ m = -2.

b) d₁ và d₂ trùng nhau

⇔ m = 1.

Bài 8: Cho đường thẳng (d) : y = -2x + 1. Xác định đường thẳng d’ đi qua M(-1 ; 2) và vuông góc với d.

Hướng dẫn giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là y = kx + m

(d’) vuông góc với (d) ⇔ k.(-2) = -1 ⇔ k = 1/2 .

(d’) đi qua M(-1; 2) ⇔ 2 = k.(-1) + m hay m = 2 + k = 5/2 .

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 1/2x + 5/2 .

Bài 9: Cho đường thẳng (d) : y = 2x + 1 và điểm M(1 ; 1). Xác định hình chiếu của M lên đường thẳng (d).

Hướng dẫn giải:

+ Tìm đường thẳng d’: y = kx + m qua M và vuông góc với d:

(d’) vuông góc với (d) ⇔ k.2 = -1 ⇔ k = -1/2 .

(d’) đi qua M(1; 1) ⇔ ⇔ m = 1/2 .

Vậy d’: y = -1/2x + 1/2 .

+ Hình chiếu H của M trên d chính là giao điểm của d và d’.

Hoành độ điểm H là nghiệm của phương trình:

2x +1 = -1/2x + 1/2 ⇔ x = -1/5 ⇒ y = 3/5 .

Vậy hình chiếu của M trên d là H (-1/5; 3/5).

Bài 10: Cho hai hàm số y = (m + 2)x + n – 1 và y = (4 – 2m)x + 5 – n. Xác định m và n để đồ thị hai hàm số trên vuông góc với nhau và cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2.

Hướng dẫn giải:

+ y = (m + 2)x + n – 1 và y = (4 – 2m)x + 5 – n cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2

⇔ (m + 2). 2 + n – 1 = (4 – 2m).2 + 5 – n

⇔ n = -3m + 5

+ y = (m + 2)x + n – 1 và y = (4 – 2m)x + 5 – n vuông góc

⇔ (m + 2).(4 – 2m) = -1

⇔ -2m² + 8 = -1

⇔ m² = 9/2

⇔

+ Với m =

+ Với m =