Các dạng bài tập Hàm số bậc nhất cực hay - Toán lớp 9

---

Các dạng bài tập Hàm số bậc nhất cực hay

Với Các dạng bài tập Hàm số bậc nhất cực hay Toán lớp 9 tổng hợp các dạng bài tập, 800 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Hàm số bậc nhất từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

• Phương pháp Tìm tập xác định của hàm số Xem chi tiết
• Phương pháp Tìm tập giá trị của hàm số Xem chi tiết
• Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Xem chi tiết
• Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số Xem chi tiết
• Cách xác định hàm số bậc nhất: tập xác định, đồng biến, nghịch biến Xem chi tiết
• Cách làm bài toán Đồ thị hàm số lớp 9 cực hay có giải chi tiết Xem chi tiết
• Bài toán hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau Xem chi tiết
• Cách làm Bài toán đường thẳng đi qua điểm cố định cực hay Xem chi tiết
• Bài toán Đồ thị hàm số trị tuyệt đối cực hay Xem chi tiết

Phương pháp Tìm tập xác định của hàm số

Phương pháp giải

+ Hàm số dạng phân thức A/B xác định ⇔ B ≠ 0.

+ Hàm số dạng căn thức √A xác định ⇔ A ≥ 0.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số:

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số y = x² + √2x + 1 có nghĩa với mọi x ∈ R.

Vậy hàm số xác định với mọi x ∈ R.

b) Hàm số xác định ⇔ x² – 1 ≠ 0 ⇔ x ±1.

Vậy hàm số có tập xác định x ≠ ±1 .

c) Hàm số y = √2x xác định ⇔ x ≥ 0.

Vậy hàm số có TXĐ: x ≥ 0 .

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số xác định

Vậy hàm số có TXĐ: x > 2/3

b) Hàm số y = |2x-3| xác định với mọi x.

Vậy hàm số xác định với mọi x.

c) Hàm số xác định

Vậy hàm số có tập xác định .

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của hàm số

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số xác định

⇔ x² - 2x - 3 ≥ 0

⇔ (x + 1)(x – 3) ≥ 0

Vậy hàm số có tập xác định x≥ 3 hoặc x ≤ -1 .

b) Hàm số xác định

(Vì x > 1 nên không xảy ra trường hợp 2x + 1 và x – 2 cùng âm).

Vậy hàm số có tập xác định x ≥ 2.

c)

⇔ x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ -1.

Vậy hàm số có tập xác định x ≠ -1.

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Hàm số có tập xác định:

A. x ≤ 5    B. x ≥ 5     C. x < 5     D. x > 5.

Lời giải:

Đáp án: A

Bài 2: Giá trị nào của x thuộc tập xác định của hàm số :

A. x = 0    B. x = 1    C. x = -1    D. x = -9

Lời giải:

Đáp án: A

Bài 3: Hàm số xác định khi:

A. x ≠ 2; x 3    B. 2 ≤ x ≤ 3

C. x ≤ 2 hoặc x ≥ 3.    D. x = 2 hoặc x = 3.

Lời giải:

Đáp án: A

Bài 4: Giá trị nào của x dưới đây không thuộc tập xác định của hàm số ?

A. x = 4.     B. x = 3     C. x = 2    D. x = -4.

Lời giải:

Đáp án: B

Bài 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện xác định của hàm số ?

A. 5    B. 6    C. 7    D. vô số.

Lời giải:

Đáp án: B

Bài tập tự luận tự luyện

Tìm điều kiện xác định của các hàm số dưới đây:

Bài 6:

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số xác định

⇔ 2x + 1 ≥ 0

⇔ x ≥ -1/2

Vậy hàm số có tập xác định x ≥ -1/2 .

b) xác định

⇔ -2x + 3 ≥ 0

⇔ 2x ≤ 3

⇔ x ≤ 3/2 .

Vậy hàm số có tập xác định x ≤ 3/2 .

Bài 7:

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số xác định

⇔ x + 2 ≠ 0

⇔ x ≠ -2

Vậy hàm số có tập xác định là x ≠ -2.

b) Hàm số xác định

⇔ x - 2 ≠ 0

⇔ x ≠ 2

Vậy hàm số có tập xác định là x ≠ 2.

Bài 8:

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số xác định

⇔ (x – 2)(x + 5) ≥ 0

Vậy hàm số có tập xác định x ≥ 2 hoặc x ≤ -5.

b) Hàm số xác định

⇔ 3x² – x – 2 ≥ 0

⇔ (x – 1)(3x + 2) ≥ 0

Vậy tập xác định của hàm số là x ≥ 1 hoặc x ≤ -2/3 .

c) Hàm số xác định

Vậy tập xác định của hàm số là -3 ≤ x < 4.

Bài 9:

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số xác định

Vậy hàm số có tập xác định x ≥ -3/2 và x ≠ 2.

b) Hàm số xác định

Vậy hàm số có tập xác định x ≤ -3 hoặc x > 2 và x ≠ 3.

Bài 10:

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

Vậy hàm số xác định

⇔ xác định

⇔ 2x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3/2 .

b) Ta có :

Hàm số trên xác định ⇔

Vậy hàm số có tập xác định x ≥ 4.

Phương pháp Tìm tập giá trị của hàm số

Phương pháp giải

+ Cho hàm số y = f(x) .

Tại mỗi giá trị x = x_o, tồn tại duy nhất giá trị y_o = f(x_o) được gọi là giá trị của hàm số tại điểm x_o.

+ Lưu ý: Muốn tìm giá trị của hàm số y = f(x) tại điểm x_o ta cần xét xem x_o có nằm trong tập xác định của hàm số đó hay không?

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = 2x – 3.

Tính f(0) ; f(3/2) ; f(-2) ; f(3) ; f(x+2) .

Hướng dẫn giải:

Tập xác định: R.

+ f(0) = 2.0 - 3 = -3.

+ f(3/2) = 2.3/2 - 3 = 0.

+ f(-2) = 2.(-2) - 3 = -7.

+ f(3) = 2.3 - 3 = 3.

+ f(x+2) = 2.(x+2) - 3 = 2x + 4 - 3 = 2x + 1.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của x sao cho y = 0 với:

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ: x > 2.

⇔ x² – 3x + 2 = 0 ⇔ (x – 1)(x – 2) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2.

Cả hai giá trị đều không thỏa mãn đkxđ.

Vậy không có giá trị nào của x để y = 0.

b) Đkxđ: x ≠ 2.

Vậy với x = 0 thì y = 0.

c) Đkxđ : x ≤ 2.

Vậy với x = 1 hoặc x = 2 thì y = 0.

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau :

a) y = 5 - 4x - x²

b) y = 3 - |x+1|

c) y = 2x + 3 với |x| ≤ 2.

Hướng dẫn giải:

a) y = 5 - 4x - x² = 9 – (4 + 4x + x²) = 9 – (x + 2)².

Vì (x + 2)² ≥ 0 nên 9 – (x + 2)² ≤ 9.

Hay y = 5 – 4x – x² ≤ 9

Dấu “=” xảy ra khi (x + 2)² = 0 ⇔ x = -2.

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9 tại x = -2.

b) Ta có: |x+1| ≥ 0 với mọi x

⇒ 3 - |x+1| ≤ 3 với mọi x.

Dấu “=” xảy ra khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1.

Vậy hàm số y = 3 - |x+1| đạt giá trị lớn nhất bẳng 3 khi x = -1.

c) Ta có : |x| ≤ 2 ⇔ -2 ≤ x ≤ 2.

⇒ -4 ≤ 2x ≤ 4

⇒ -1 ≤ 2x + 3 ≤ 7.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = 2x + 3 với x thỏa mãn |x| ≤ 2 là 7 khi x = 2.

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Cho hàm số y = -x² + 2x + 3 . Giá trị của hàm số tại x = √3 - 1 là:

A. 5    B. 4√3 - 3    C. 4√3 + 3    D. 4√3 - 2

Lời giải:

Đáp án B

Bài 2: Giá trị hàm số tại x = 5 là:

A. 1/2     B. Không tồn tại     C. 1/4    D. -1/4 .

Lời giải:

Đáp án A

Bài 3: Hàm số y = x - 1/x bằng không tại x bằng:

A. x = ±2    B. x = 0    C. x = ±1     D. x = 2.

Lời giải:

Đáp án C

Bài 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² + 2x - 2 bằng:

A. -2    B. -3     C. 0     D. 2.

Lời giải:

Đáp án B

Bài 5: Giá trị lớn nhất của hàm số bằng:

A. 3     B. 4     C. 5     D. 6

Lời giải:

Đáp án C

Bài 6: Cho hàm số y = f(x) =

Tính f(-3); f(-2); f(-1); f(0); f(3); f(5) .

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: x > 1 hoặc x < 1.

Ta có: y = f(x) =

f(-3) = .

f(-2) = .

f(-1); f(0) không tồn tại vì -1 và 0 không thuộc tập xác định.

f(3) = .

f(-5) = .

Bài 7: Cho các hàm số:

a) y = x - 1/x    b) y = x² + 2x - 1    c) y = x² - 2√(x² - 1)

Tìm các giá trị của x để giá trị của các hàm số trên bằng 0.

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ: x ≠ 0

Ta có: y = x- 1/x =

y = 0 ⇔

Vậy với x = ±1 thì hàm số có giá trị bằng 0.

b) y = 0 ⇔ x² + 2x - 1 = 0

⇔ x² + 2x + 1 - 2 = 0

⇔ (x+1)² = 2

⇔ x+1 = ±√2

⇔ x = -1 ±√2

Vậy hàm số có giá trị bằng 0 tại .

c) Đkxđ: x ≥ 1 hoặc x ≤ -1 .

y = 0 ⇔

⇔ x⁴ = 4(x² - 1)

⇔ x⁴ - 4x² + 4 = 0

⇔ (x² - 2)² = 0

⇔ x² = 2 ⇔ x = ±√2 (t.m đkxđ)

Vậy hàm số có giá trị bằng 0 tại x = ±√2 .

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) y = x² + 2x + 4

Hướng dẫn giải:

a) y = x² + 2x + 4 = (x² + 2x + 1 ) + 3 = (x+1)² + 3

Vì (x+1)² ≥ 0 nên y ≥ 3 .

Dấu “=” xảy ra khi x = -1.

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 tại x = -1.

b)

Ta có: x² ≥ 0 nên x² + 4 ≥ 4 ⇒

+ y = 4 khi x = 0.

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x = 0.

c) Đkxđ: x > 1.

Vì nên

y = 1 khi x = 1.

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 tại x = 1.

Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:

a) y = -x² + 2x + 4

Hướng dẫn giải:

a) y = -x² + 2x + 4 = (-x² + 2x -1) +5 = 5 - (x-1)² .

Vì (x-1)² ≥ 0 ⇒ -(x-1)² ≤ 0 ⇒ y = 5 - (x-1)² ≤ 5

y = 5 khi (x-1)² = 0 ⇔ x = 1.

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5 tại x = 1.

b) Đkxđ: x ≥ 1/2

Vì 3x⁴ ≥ 0 ⇒ 3x⁴ + 1 ≥ 1

nên

y = 1 khi 3x⁴ = 0 ⇔ x = 0.

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại x = 0.

c) Ta có: x² + 3 ≥ 3 nên

y = 1/3 khi x² = 0 ⇔ x = 0.

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1/3 tại x = 0.

Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Hướng dẫn giải:

+ Đkxđ: 1 – 4x – x² ≥ 0.

+ Ta có: nên .

Dấu “=” khi 1 – 4x – x² = 0 ⇔ 5 - (4 + 4x + x²) = 0

⇔ 5 - (x+2)² = 0

⇔ (x+2)² = 5

⇔ x = -2±√5.

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại x = -2±√5 .

+ Lại có: nên

Vì (x+2)² ≥ 0 nên 5 - (x+2)² ≤ 5 ⇒ y ≤ √5.

y = √5 khi (x + 2)² = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = -2.

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng √5 tại x = -2.

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp giải

+ Hàm số y = f(x) đồng biến nếu với mọi x₁; x₂ thuộc tập xác định thỏa mãn x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂)

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến nếu với mọi x₁; x₂ thuộc tập xác định thỏa mãn x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂)

+ Ngoài dựa vào định nghĩa, ta có thể dựa vào việc xét dấu biểu thức A = (f(x₁)- f(x₂))(x₁ - x₂) hoặc .

Nếu A > 0 (hoặc B > 0 ) thì hàm số đồng biến.

Nếu A < 0 (hoặc B < 0) thì hàm số nghịch biến.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y = f(x) = 3x-7 .

b) y = g(x) = -2x+5 .

c) y = h(x) = √(x+2)

Hướng dẫn giải:

a) Lấy x₁ ≠ x₂ ∈ R, ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên toàn tập số thực.

b) Lấy x₁ ≠ x₂ ∈ R, ta có:

Vậy hàm số y = g(x) nghịch biến trên toàn tập số thực.

c) Đkxđ : x ≥ -2.

Lấy x₁ ≠ x₂ thỏa mãn x₁; x₂ ≥ -2 ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định x ≥ -2.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng :

a) f(x) = x² + 2x + 4 đồng biến khi x > -1 và nghịch biến khi x < -1.

b) g(x) = -x² + 4x + 1 đồng biến khi x < 2 và nghich biến khi x > 2.

Hướng dẫn giải:

a) Lấy x₁ ; x₂ ∈ R ta có :

+ Với mọi x₁ < -1 ; x₂ < -1 thì x₁ + x₂ + 2 < 0

Vậy hàm số f(x) = x² + 2x + 4 nghịch biến với mọi x < -1.

+ Với mọi x₁ > -1 ; x₂ > -1 thì x₁ + x₂ + 2 > 0

Vậy hàm số f(x) = x² + 2x + 4 đồng biến với mọi x > -1.

b) Lấy x₁ ; x₂ ∈ R, xét :

+ Với mọi x₁ < 2 ; x₂ < 2thì x₁ + x₂ < 4.

Do đó

Vậy hàm số f(x) = x² + 2x + 4 nghịch biến với mọi x < -1.

+ Với mọi x₁ > -1 ; x₂ > -1 thì x₁ + x₂ + 2 > 0

Vậy hàm số f(x) = x² + 2x + 4 đồng biến với mọi x > -1.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : x ≤ 1.

Ta có:

Lấy x₁; x₂ < 1 ta có:

Suy ra hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó.

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Với x₁; x₂ thuộc tập D bất kì, hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên tập D khi :

Lời giải:

Đáp án: D

Bài 2: Với x₁; x₂ thuộc tập D bất kì, hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên tập D khi :

Lời giải:

Đáp án: C

Bài 3: Cho hàm số y = 1 – x . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số có tập xác định x < 1.

B. Hàm số có tập xác định x > 1.

C. Hàm số đồng biến trên tập xác định

D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Lời giải:

Đáp án: D

Bài 4: Cho hàm số y = x² - 6x . Hàm số đồng biến khi :

A. 0 < x < 5 B. x < 3 C. x > 3 D. -2 <x < 2.

Lời giải:

Đáp án: C

Bài 5: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên toàn tập số thực:

Lời giải:

Đáp án: A

Bài tập tự luận tự luyện

Bài 6: Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên tập số thực.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số

Lấy x₁; x₂ ∈ R bất kì, ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên tập số thực.

Bài 7: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số với x < 1.

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: x ≤ 3/2 .

Lấy x₁; x₂ < 1 bất kì ta có:

Vậy hàm số nghịch biến với mọi x < 1.

Bài 8: Cho hàm số y = x² - x + 1.

Chứng minh hàm số đồng biến khi x > 1/2 và nghịch biến khi x < 1/2.

Hướng dẫn giải:

f(x) = x² - x + 1

+ Lấy x₁; x₂ < 1/2 bất kì ta có:

Với x₁; x₂ < 1/2 thì x₁ + x₂ < 1 nên x₁ + x₂ - 1 < 0 .

Hay hay hàm số nghịch biến với x < 1/2 .

+ Lấy x₁; x₂ > 1/2 bất kì ta có x₁ + x₂ > 1 , suy ra x₁ + x₂ - 1 > 0

Suy ra

Hay hay hàm số đồng biến với x > 1/2 .

Bài 9: Chứng minh hàm số đồng biến với x > 2.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: x ≠ 2 .

Lấy x₁; x₂ > 2. Ta có:

Với x₁;x₂ > 2 ta có: 2 - x₁ < 0 ; 2 - x₂ < 0

Do đó

Vậy hàm số đồng biến với x > 2.

Bài 10: Tìm điều kiện của a để hàm số y = ax + 3 nghịch biến trên toàn tập số thực.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = f(x) = ax + 3.

Lấy x₁ ; x₂ ∈ R bất kì.

Ta có :

Để hàm số nghịch biến trên R thì hay a < 0.