Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay - Toán lớp 9
Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay
Với Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.
Phương pháp giải
a) Tìm x nguyên để biểu thức A = 
nguyên.
Bước 1. Tách A thành dạng 
trong đó h(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên, m là nguyên.
Bước 2: A nguyên ⇔ 
nguyên ⇔ g(x) ∈ Ư(m).
Bước 3. Với mỗi giá trị của g(x), tìm x tương ứng và kết luận.
b) Tìm x để biểu thức A nguyên (Sử dụng phương pháp kẹp).
Bước 1: Áp dụng các bất đẳng thức để tìm hai số m, M sao cho m < A < M.
Bước 2: Tìm các giá trị nguyên trong khoảng từ m đến M.
Với mỗi trường hợp, tìm giá trị của x và kết luận.
Lưu ý: Đối chiếu điều kiện xác định của biểu thức.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức 
cũng đạt giá trị nguyên?
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định: x ≥ 0; x ≠ 1 .
Ta có:
⇔ √x - 1 ∈ Ư(2) = {-2; -1; 1; 2}
Ta có bảng sau:
Vậy với x ∈ {0; 4; 9} thì biểu thức A đạt giá trị nguyên.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức 
nguyên.
Hướng dẫn giải:
Đkxđ: x ≠ -1.
Ta có:
⇔ x + 1 ∈ Ư(2) = {-2; -1; 1; 2}
⇔ x ∈ {-3; -2; 0; 1}.
Vậy với x ∈ {-3; -2; 0; 1} thì biểu thức A nguyên.
Ví dụ 3: Tìm x để biểu thức 
đạt giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải:
Đkxđ: x ≥ 0.
Ta có: 
Ta có: 
với mọi x
⇒ 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
P đạt giá trị nguyên ⇔ P = 1
Vậy với 
thì biểu thức P đạt giá trị nguyên.
Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Bài 1: Giá trị nào của x dưới đây không làm cho biểu thức 
nguyên.
A. 1/4 B. 4 C. 2 D. 0.
Lời giải:
Đáp án: C
Bài 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức 
nguyên?
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
Lời giải:
Đáp án: B
Bài 3: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức 
nguyên?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Lời giải:
Đáp án: B
Bài 4: Với tất cả các số nguyên x, giá trị nguyên lớn nhất của biểu thức 
là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải:
Đáp án: D
Bài 5: Có bao nhiêu giá trị của x để biểu thức 
nguyên?
A. 2 B. Vô số C. 3 D. 1
Lời giải:
Đáp án: B
Bài 6: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức dưới đây nguyên:
Hướng dẫn giải:
a) Đkxđ: x ≠ -3.
A ∈ Z ⇔ ⇔ x + 3 ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3} ⇔ x ∈ {-6; -4; -2; 0}
b) Đkxđ: x ≠ 1/3 .
B ∈ Z ⇔ 
⇔ 1 – 3x ∈ Ư(6) = {-6; -3;-2; -1; 1; 2; 3; 6}
Ta có bảng:
Trong các giá trị trên, chỉ có x = 1 hoặc x = 0 thỏa mãn x nguyên.
Vậy x = 0 hoặc x = 1.
c) 
⇔ 2 - 3√x ∈ Ư(2) = {-2; -1; 1; 2}
Ta có bảng sau:
Trong các giá trị trên chỉ có x = 1 hoặc x = 0 thỏa mãn.
Vậy x = 0 hoặc x = 1.
Bài 7: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức dưới đây nguyên:
Hướng dẫn giải:
a)
Đkxđ: x ≥ 0; x ≠ 4 .
Ta có: 
.
M ∈ Z ⇔ 
∈ Z ⇔ 2 - √x ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}.
Ta có bảng:
Vậy với x ∈ {49; 9; 1} thì biểu thức M có giá trị nguyên.
b) 
Đkxđ: x ≥ 0 ; x ≠ 4 .
Ta có: 
N ∈ Z ⇔ 
⇔ √x - 2 Ư(7) = {-7; -1; 1; 7}.
Ta có bảng sau:
Vậy với x ∈ {1; 9; 81} thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
Bài 8: Tìm các giá trị của x để các biểu thức 
nguyên
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: x ≥ 0 .
Ta có: x - 2√x + 2 = x - 2√x + 1 + 1 = (√x - 1)2 + 1 ≥ 1 > 0
⇒ 0 < P ≤ 3.
P nguyên ⇔ P ∈ {1; 2; 3}.
+ P = 1 ⇔ x - 2√x + 2 = 1 ⇔ x - 2√x + 1 = 0 ⇔ √x - 1 = 0 ⇔ x = 1.
+ P = 2 ⇔ x - 2√x + 2 = 1/4 ⇔ (√x - 1)2 = -3/4 < 0. Vô nghiệm.
+ P = 3 ⇔ x - 2√x + 2 = 1/9 ⇔ (√x - 1)2 = -8/9 < 0. Vô nghiệm.
Vậy chỉ có x = 1 làm cho P nguyên.
Bài 9: Chứng minh rằng biểu thức 
không nguyên với mọi giá trị của x làm cho biểu thức xác định.
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Mà Q > 0 với mọi x.
⇒ 0 < Q ≤ 1/2
Vậy không có giá trị nào của x làm cho Q nguyên.
Bài 10: Cho 
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để biểu thức 
nguyên.
Hướng dẫn giải:
a) Điều kiện xác định: x > 0; x ≠ 1.
b) Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
⇒ hay 0 < Q ≤ 2.
Q nguyên ⇔ Q = 1 hoặc Q = 2.
+ Q = 1
+ Q = 2
⇔ x = 1 (không t.m đkxđ).
Vậy với 
thì biểu thức Q có giá trị nguyên.
