Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số - Toán lớp 9

---

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Với Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

Phương pháp giải

+ Hàm số y = f(x) đồng biến nếu với mọi x₁; x₂ thuộc tập xác định thỏa mãn x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂)

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến nếu với mọi x₁; x₂ thuộc tập xác định thỏa mãn x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂)

+ Ngoài dựa vào định nghĩa, ta có thể dựa vào việc xét dấu biểu thức A = (f(x₁)- f(x₂))(x₁ - x₂) hoặc .

Nếu A > 0 (hoặc B > 0 ) thì hàm số đồng biến.

Nếu A < 0 (hoặc B < 0) thì hàm số nghịch biến.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y = f(x) = 3x-7 .

b) y = g(x) = -2x+5 .

c) y = h(x) = √(x+2)

Hướng dẫn giải:

a) Lấy x₁ ≠ x₂ ∈ R, ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên toàn tập số thực.

b) Lấy x₁ ≠ x₂ ∈ R, ta có:

Vậy hàm số y = g(x) nghịch biến trên toàn tập số thực.

c) Đkxđ : x ≥ -2.

Lấy x₁ ≠ x₂ thỏa mãn x₁; x₂ ≥ -2 ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định x ≥ -2.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng :

a) f(x) = x² + 2x + 4 đồng biến khi x > -1 và nghịch biến khi x < -1.

b) g(x) = -x² + 4x + 1 đồng biến khi x < 2 và nghich biến khi x > 2.

Hướng dẫn giải:

a) Lấy x₁ ; x₂ ∈ R ta có :

+ Với mọi x₁ < -1 ; x₂ < -1 thì x₁ + x₂ + 2 < 0

Vậy hàm số f(x) = x² + 2x + 4 nghịch biến với mọi x < -1.

+ Với mọi x₁ > -1 ; x₂ > -1 thì x₁ + x₂ + 2 > 0

Vậy hàm số f(x) = x² + 2x + 4 đồng biến với mọi x > -1.

b) Lấy x₁ ; x₂ ∈ R, xét :

+ Với mọi x₁ < 2 ; x₂ < 2thì x₁ + x₂ < 4.

Do đó

Vậy hàm số f(x) = x² + 2x + 4 nghịch biến với mọi x < -1.

+ Với mọi x₁ > -1 ; x₂ > -1 thì x₁ + x₂ + 2 > 0

Vậy hàm số f(x) = x² + 2x + 4 đồng biến với mọi x > -1.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : x ≤ 1.

Ta có:

Lấy x₁; x₂ < 1 ta có:

Suy ra hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó.

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Với x₁; x₂ thuộc tập D bất kì, hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên tập D khi :

Lời giải:

Đáp án: D

Bài 2: Với x₁; x₂ thuộc tập D bất kì, hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên tập D khi :

Lời giải:

Đáp án: C

Bài 3: Cho hàm số y = 1 – x . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số có tập xác định x < 1.

B. Hàm số có tập xác định x > 1.

C. Hàm số đồng biến trên tập xác định

D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Lời giải:

Đáp án: D

Bài 4: Cho hàm số y = x² - 6x . Hàm số đồng biến khi :

A. 0 < x < 5 B. x < 3 C. x > 3 D. -2 <x < 2.

Lời giải:

Đáp án: C

Bài 5: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên toàn tập số thực:

Lời giải:

Đáp án: A

Bài tập tự luận tự luyện

Bài 6: Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên tập số thực.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số

Lấy x₁; x₂ ∈ R bất kì, ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên tập số thực.

Bài 7: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số với x < 1.

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: x ≤ 3/2 .

Lấy x₁; x₂ < 1 bất kì ta có:

Vậy hàm số nghịch biến với mọi x < 1.

Bài 8: Cho hàm số y = x² - x + 1.

Chứng minh hàm số đồng biến khi x > 1/2 và nghịch biến khi x < 1/2.

Hướng dẫn giải:

f(x) = x² - x + 1

+ Lấy x₁; x₂ < 1/2 bất kì ta có:

Với x₁; x₂ < 1/2 thì x₁ + x₂ < 1 nên x₁ + x₂ - 1 < 0 .

Hay hay hàm số nghịch biến với x < 1/2 .

+ Lấy x₁; x₂ > 1/2 bất kì ta có x₁ + x₂ > 1 , suy ra x₁ + x₂ - 1 > 0

Suy ra

Hay hay hàm số đồng biến với x > 1/2 .

Bài 9: Chứng minh hàm số đồng biến với x > 2.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: x ≠ 2 .

Lấy x₁; x₂ > 2. Ta có:

Với x₁;x₂ > 2 ta có: 2 - x₁ < 0 ; 2 - x₂ < 0

Do đó

Vậy hàm số đồng biến với x > 2.

Bài 10: Tìm điều kiện của a để hàm số y = ax + 3 nghịch biến trên toàn tập số thực.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = f(x) = ax + 3.

Lấy x₁ ; x₂ ∈ R bất kì.

Ta có :

Để hàm số nghịch biến trên R thì hay a < 0.