Cung chứa góc - Toán lớp 9

---

Cung chứa góc

Với Cung chứa góc Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Cung chứa góc từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

A. Phương pháp giải

1. Với đoạn thẳng AB và góc α cho trước (0^o < α < 180^o) thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn ∠AMB = α là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.

2. Cách giải bải toán quỹ tích.

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó ta phải chứng minh hai phần.

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất T là hình H.

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho ΔABC có cạnh BC cố định và ∠A = α không đổi (0^o < α < 180^o). Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp ΔABC

Hướng dẫn giải

* Phần thuận:

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC nên BI là phân giác của ∠B, do đó:

∠IBC = 1/2∠ABC

CI là phân giác ∠ACB, do đó: ∠ICB = 1/2 ∠ACB

Suy ra: ∠IBC + ∠ICB = 90^o - α

Trong ΔBCI có ∠BIC = 180^o - 1/2(∠ABC + ∠ACB)

=180^o - (90^o - 1/2 α) = 90^o + 1/2 α

=> Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới một góc 90^o + 1/2 α nên I thuộc cung chứa góc 90^o + 1/2 α dừng trên đoạn thẳng BC (trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A).

* Phần đảo:

Lấy I’ thuộc cung chứa góc 90^o + 1/2 α nói trên. Vẽ các tia Bx và Cy sao cho BI’ là tia phân giác của ∠CBx và CI’ là tia phân giác của góc ∠BCy. Hai tia Bx và Cy cắt nhau tại A’.

Vì I’ thuộc cung chứa góc 90^o + 1/2 α dựng trên đoạn BC nên:

∠BI'C = 90^o + 1/2 α

Do đó: ∠I'BC + ∠I'CB = 180^o - ∠BIC = 90^o - 1/2α

Vì BI’ là phân giác của ∠A'BC và CI’ là phân giác của ∠A'CB nên

∠A'BC + ∠A'CB = 2(∠I'BC + ∠I'CB) = 180^o - α

Mặt khác I’ là giao điểm các tia phân giác của ∠A'BC và ∠A'CB nên I’ là tâm đường tròn nội tiếp ΔA'BC

Kết luận: Quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp ΔABC là cung chứa góc 90^o + 1/2 α dựng trên đoạn BC.

Bài 2: Cho đường tròn (O) và điểm A cố định nằm trong đường tròn . Một đường thẳng d quay quanh điểm A cắt đường tròn (O) tại hai điểm M và N. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.

Hướng dẫn giải

* Phần thuận:

Vì I là trung điểm của dây MN suy ra OI ⊥ MN Do đó ∠OIA = 90^o

Vì điểm I nhìn đoạn OA cố định dưới góc 90^o nên I nằm trên đường tròn đường kính OA.

* Phần đảo:

Lấy điểm I’ bất kỳ thuộc đường tròn đường kính OA.

Nối AI’ cắt đường tròn (O) tại M’ và N’

Vì I’ thuộc đường tròn đường kính OA nên ∠OI'A = 90^o hay OI' ⊥ M'N'

Suy ra I’ là trung điểm của M’N’ (theo quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của MN là đường tròn đường kính OA.

Bài 3: Dựng ΔABC biết BC = 8cm; ∠A = 60^o và trung tuyến AM = 5cm.

Hướng dẫn giải

* Phân tích:

Giả sử đã dựng được ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vì ∠BAC = 60^o nên A thuộc cung đường tròn chứa góc 60^o dựng trên đoạn BC.

Lại có: AM = 5cm, nên A thuộc đường tròn tâm M, bán kính 5cm.

* Cách dựng:

Dựng đoạn thẳng BC = 8cm. Xác định trung điểm M của BC.

Dựng cung chứa góc 60^o trên đoạn thẳng BC.

Dựng đường tròn tâm M, bán kính 5cm. Gọi giao điểm của cung chứa góc và đường tròn (M, 5cm) là A và A’.

Ta có hai tam giác ABC và A’BC đều thỏa mãn đề bài.

* Chứng minh:

Vì A thuộc cung chứa góc 60^o dựng trên đoạn BC nên ∠A = 60^o

Lại có: A thuộc đường tròn (M, 5cm) nên AM = 5cm.

BC = 8cm theo cách dựng.

* Biện luận:

Bài toán luôn có nghiệm hình.

Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, có C là điểm chính giữa của cung AB. M là một điểm chuyển động trên cung BC . Lấy điểm N thuộc đoạn AM sao cho AN = MB. Vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn; D là điểm thuộc Ax sao cho AD = AB .

a) Chứng minh rằng ΔMNC vuông cân.

b) Chứng minh rằng DN ⊥ AM

c) Tìm quỹ tích điểm N.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ΔANC = ΔBMC (c.g.c)

Do đó: CN = CM

Lại có: ∠CMA = 1/2 SđAC = 1/2 .90^o = 45^o

Từ (1) và (2) suy ra ΔMNC vuông cân tại C.

b) Xét ΔAND và ΔBMA có:

+ AD = AB

+ ∠DAN = ∠ABM

+ AN = BM (gt)

=> ΔAND = ΔBMA do đó ∠AND = ∠BMA .

Mà ∠BMA = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra ∠AND = 90^o hay DN ⊥AM.

c) * Phần thuận:

Vì ∠AND = 90^o N nhìn đoạn AD cố định dưới một góc 90^o nên N thuộc đường tròn đường kính AD.

Giới hạn: Nếu M ≡ A thì N ≡ C, nếu M ≡ C thì N ≡ A do đó quỹ tích điểm N là cung nhỏ AN của đường tròn đường kính AD (cung này thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng Ax có chứa nửa đường tròn (O)).

* Phần đảo: Học sinh tự chứng minh.