Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Toán lớp 9

---

Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Với Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông Toán lớp 9 tổng hợp các dạng bài tập, bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

• Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
• Bài tập trắc nghiệm Hệ thức lượng trong tam giác vuông
• Tỉ số lượng giác của góc nhọn
• Bài tập trắc nghiệm Tỷ số lượng giác của góc nhọn

Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

A. Phương pháp giải

Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đường cao AH. Khi đó ta có:

1, c² = ac', b² = ab'

2, a² = b² + c²

3, ah = bc

4, h² = b'.c'

5, 1/h² = 1/b₂ + 1/c₂

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Tính x, y trong các trường hợp sau

Hướng dẫn giải

a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:

BC²= AB²+ AC²

BC²= 5²+ 7²

BC²= 74

Suy ra BC = √74

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giac vuông ABC: AB² = BD.BC

=> BD = AB²/BC => x = 25/√74

DC = BC - BD = √74 - 25/√74 = 49/√74

Vậy x = 25/√74 và y = 49/√74

b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

AB²= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 hay x = 4.

AC²= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 hay y = √48

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

AC² = CH.BC = 16.BC

AB² + AC² = BC²

⇔ 15² + 16.BC = BC²

⇔ BC² - 16.BC - 225 = 0

⇔ BC² - 25BC + 9BC - 225 = 0

⇔ BC(BC - 25) + 9(BC - 25) = 0

⇔ (BC - 25)(BC + 9) = 0

⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)

=> AC² = 16.BC = 16.25 = 400

=> AC = 20

+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)

Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm. Tính độ dài phân giác giác góc C

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có

BC² = 50² = 2500

AB² + AC² = 14² + 48² = 2500

=> BC² = AB² + AC²

=> Tam giác ABC vuông tại A

Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính chất tia phân giác)

=> DB = 25/7 DA.

Ta có DA + DB = AB

⇔ DA + 25/7 DA = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ DA = 10,5cm

Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có

CD² = AC² + AD² = 14² + 10,5² = 306,25 => CD = 17,5cm

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thứ tự D và E. Tính DE.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

BC² = AB²+ AC² ( theo định lý py-ta-go)

BC² = 24²+ 32²

BC² = 1600

BC = 40(cm)

EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)

Xét tam giác vuông ACB và tam giác vuông ECD có:

Có ∠A = ∠E = 90^o

∠C chung

=> Tam giác ACB ∾ tam giác ECD (g.g)

=> AC/EC = AB/ED

=> ED = AB.EC/AC = 15cm

Vậy ED = 15cm

Bài tập trắc nghiệm Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH xuất phát từ A và AB=3; AC=4. Tính độ dài đoạn AH

A. 2,5 cm   B. 3cm   C. 2,4cm   D. 2cm

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=9cm, AC=12cm. Độ dài đường cao AH là:

A. 7,2 cm   B. 5cm   C. 6,4 cm   D. 5,4cm

Câu 3: Cho tam giac ABC vuông tại A có AB=2cm, AC=4cm. Độ dài đường cao AH là:

Câu 4: Tam giác ABC vuông tại A, có AB=2cm, AC=3cm. Khi đó độ dài đường cao AH bằng:

Câu 5: Cho tam giác ABC có AH là đường cao xuất phát từ A, hệ thức nào dưới đây chứng tỏ tam giác ABC vuông tại A

A. BC² = AB² + AC²

B. AH² = HB.HC

C. AB² = BH.BC

D. A, B, C đều đúng.

Câu 6: Cho tam giác ABC có đường cao xuất phát từ A. Nếu ∠BAC = 90^o thì hệ thức nào dưới đây đúng?

A. BC² = AB²+AC²

B. AH² = HB.HC

C. AB² = BH.BC

D. A, B, C đều đúng.

Câu 7: Cho tam giác ABC có và AH là đường cao xuất phát từ A. Câu nào sau đây là đúng?

Câu 8: Tam giác ABC vuông có đường cao AH( H thuộc cạnh BC). Hình chiếu của H trên AB là D, trên AC là E. Câu nào sau đây sai:

Câu 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC=10cm. Cạnh AB=5cm, thì độ dài đường cao AH là:

Hướng dẫn giải và đáp án

Câu 1: Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:

BC²=AB²+AC²

Thay số ta tính được BC=5.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC có: AH.BC = AB.AC

Vậy chọn đáp án:C

Câu 2: Chọn đáp án: A

Câu 3: Chọn đáp án: C

Câu 4: Chọn đáp án: A

Câu 5: Chọn đáp án: D

Câu 6: Chọn đáp án: D

Câu 7: Chọn đáp án: C vì ∠B + ∠C = 90^o suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Câu 8: Chọn đáp án: D vì:

+ Đáp án A đúng vì AEHD là hình chữ nhật(vì có 3 góc vuông) nên 2 đường chéo AH và DE bằng nhau.

+ Xét tam giác ABC có :

Vì AH = DE nên đáp án B đúng

Từ đó suy ra chọn đáp án D

Câu 9: Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC = 10cm nên tam giác ABC vuông tại A. Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: AC² = BC² - AB².

Thay số vào ta tính được: AC= √75cm = 5√3 cm.

Áp dụng hệ thức lượng vào t tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC.

Thay số vào ta tính được: AH = 5√3/2 cm

Vậy chọn đáp án: D

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB:AC=3:4, BC=15cm. Độ dài cạnh AB là:

A. 9cm   B. 10cm   C. 6cm   D. 3cm

Câu 11: Hình thang ABCD vuông góc ở A, D. Đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC biết AD=12cm, BC=20cm. Độ dài cạnh AB là:

A. 256/13cm   B. 9cm hay 16cm

C. 16cm   D. Một kết quả khác

Câu 12: Cho tam giác DEF vuông tại D, có DE=3cm, DF=4cm. Khi đó độ dài cạnh huyền bằng:

A. 5cm   B. 7cm   C. 6cm   D. 10cm

Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB=5cm, BC=13cm. Khi đó độ dài đoạn BH bằng:

Câu 14: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB=3cm, AC=4cm. Khi đó độ dài đoạn BH bằng:

Hướng dẫn giải và đáp án

Câu 10: Gọi độ dài cạnh AB = 3x thì độ dài cạnh AC = 4x. Áp dụng định lý py-ta-go ta được:

⇔ 100 = 9x² + 16²

⇔ x² = 100 : 25

⇔ x = 2

Từ đó suy ra AB = 6cm

Câu 11: Kẻ BI ⊥ DC. Khi đó ABID là hình chữ nhật nên AD = BI; AB = DI = 12cm.

Xét tam giác vuông BIC có: IC²=BC²-BI²

Suy ra IC = 16cm.

Xét tam giác vuông BDC .Theo hệ thức lượng ta có: BI² = DI.IC

Thay số:16² = DI . 13.Tứ đó suy ra DI = 256/13 cm.

Vậy chọn đáp án A

Câu 12: Chọn đáp án: A

Câu 13: Áp dụng hệ thức lượng: AB² = BH.BC

Thay số ta được: 5²=BH.13.Suy ra BH = 25/13

Vậy chọn đáp án: A

Câu 14: Chọn đáp án: D

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

A. Phương pháp giải

1. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn:

1, sin α = AB/AC

2, cos α = BC/AC

3, tan α = AB/BC

4, cotg α = BC/AB

2. Một số tính chất của các tỉ số lượng giác

+ Cho hai góc α và β phụ nhau. Khi đó:

sin α = cos β

cos α = sin β

tan α = cotg β

cotg α = tan β

+ Cho góc nhọn α. Ta có:

0 < sin α < 1

0 < cos α < 1

tan α = sin α / cos α

cotg α = cos α / sin α

tan α . cotg α = 1

3. Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Khi đó:

b= a. sin B

c= a. sin C

b= a. cos C

c= a. cos B

b= c. tan B

c= b. tan C

b= c. cotg C

c= b. cotg B

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a, đường cao AH.

a, Chứng minh rằng: AH=a sinBcosB; BH = a cos²B ; CH = a sin² B

b, Suy ra AB² = BC.BH ; AH² = BH.HC

Hướng dẫn giải

a, Chứng minh:

Xét tam giác vuông ABH, ta có:

AH = sinB.AB (1)

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

AB = BC.cos B = acos B (2)

Từ (1) và (2) ta có:

AH = a sin B cos B

Tương tự ta có:

+ Xét tam giác vuông ABH: BH = AB.cos B

Xét tam giác vuông ABC: AB = BC.cos B = acos B => BH = a cos²B

+ Xét tam giác vuông ACH: CH = AC.cos C = AC.sin B

Tam giác vuông ABC: AC=BC.sin B=a.sin B => CH = a sin² B

b, AB² = a² cos²B

BC.BH = a.a.cos²B = a²cos²B

=> AB² = BC.BH

AH² = a²sin²cos²B

=> AH² = BH.HC

Bài 2: Giải tam giác trong các trường hợp sau( Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).(Tức là tìm tất cả các yếu tố chưa biết của tam giác ABC)

a, Tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3,5; AC = 4,2.

b, Tam giác ABC vuông tại A, biết ∠B = 50^o ; AB = 3,7.

Hướng dẫn giải

Bài 3: Giải tam giác ABC, biết ∠B = 65^o; ∠C = 40^o và BC = 4,2 cm.

Hướng dẫn giải

Ta có: ∠A = 180^o - (65^o + 45^o) = 75^o

Vẽ BH ⊥ AC

+ Xét tam giác vuông HBC vuông tại H, theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

BH = BC.sin C = 2,7 (cm)

Và CH = BH.cotg C (1)

+ Xét tam giác vuông ABH tại H, theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

BH = AB.sin A => AB = BH/sinA = 2,8 (cm) và AH = BH.cotg A (2)

Từ (1) và (2) ta có:

AC = AH+CH = BH.cotgA + BH.cotgC = BH(Cotg A+Cotg C)= 3,9(cm)

Vậy ∠A = 75^o; AB = 2,8(cm); AC = 3,9(cm).