Với 30 bài tập trắc nghiệm tổng hợp Toán lớp 10 Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 10.
2.0 + (– 2) + 5 > 0 thoả mãn bất phương trình 2x + y + 5 > 0;
0 + (– 2) + 1 < 0 thoả mãn bất phương trình x + y + 1 < 0.
Vậy điểm (0; – 2) là nghiệm của hệ bất phương trình.
Xét điểm (0; 2) ta có 0 + 2 + 1 > 0 không thoả mãn bất phương trình x + y + 1 < 0. Vậy điểm (0; 2) không là nghiệm của hệ bất phương trình.
Câu 4. Phần không gạch chéo trong hình nào dưới đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 3x – 2y < – 6
A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng là: B
Trước hết, ta vẽ đường thẳng (d): 3x – 2y = – 6.
Ta thấy (0; 0) không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ(d)) không chứa điểm (0; 0).
Câu 5. Phần nửa mặt phẳng tô đậm (không kể đường thẳng d) là miền nghiệm của bất phương trình nào?
A. x – y > – 2;
B. x – y > 2;
C. x – y < – 2;
D. x + y < 2.
Đáp án đúng là: A
Từ đồ thị ta có đường thẳng d đi qua điểm (– 2; 0) và (0; 2)
Giả sử đường thẳng d có phương trình y = ax + b
Ta có hệ ⇒ y = x + 2
Vậy phương trình đường thẳng d: x – y = – 2
Ta có: 0 – 0 = 0 > -2
Do đó, (0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy bất phương trình có dạng x – y > – 2.
Câu 6. Phần nửa mặt phẳng không bị gạch (kể cả đường thẳng d) trong hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào?
A. x + 2y ≥ – 2;
B. 2x + y ≤ 2;
C. 2x + y ≥ – 2;
D. x + 2y ≥ 2.
Đáp án đúng là: D
Từ đồ thị ta có đường thẳng d đi qua điểm (2; 0) và (0; 1)
Giả sử đường thẳng d có phương trình y = ax + b
Ta có hệ
Vậy phương trình đường thẳng d: ⇔ x + 2y = 2
Thay điểm O(0; 0) và phương trình đường thẳng ta có 0 + 2.0 = 0 < 2. Ta thấy (0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy bất phương trình có dạng x + 2y ≥ 2.
Câu 7. Biểu thức F = y – x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện tại điểm có toạ độ là
A. (4; 1);
B. ;
C. ;
D. (1; 1).
Đáp án đúng là: A
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ
Ta vẽ đường thẳng d1: – 2x + y = – 2, đường thẳng d1 đi qua hai điểm (0; – 2) và (1; 0)
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có – 2.0 + 0 = 0 > – 2, điểm O(0; 0) không thoả mãn bất phương trình – 2x + y ≤ – 2, vậy điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d1 và không chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).
Ta vẽ đường thẳng d2: x – 2y = 2, đường thẳng d2 đi qua hai điểm (0; – 1) và (2; 0)
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 2.0 = 0 < 2, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình x – 2y ≤ 2, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d2 và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).
Ta vẽ đường thẳng d3: x + y = 5, đường thẳng d3 đi qua hai điểm (0; 5) và (5; 0)
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 = 0 < 5, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình x + y ≤ 5, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d3 và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).
x ≥ 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).
Miền nghiệm là phần không bị gạch trong hình dưới đây (kể cả bờ).
Nhận thấy biểu thức F = y – x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B hoặc C, với , , C(4;1).
Ta có
F(x; y) = y – x suy ra F> = ,
F(x; y) = y – x suy ra F = ,
F(x; y) = y – x suy ra F(4;1).= 1 – 4 = – 3.
Vậy F = y – x đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 3 tại điểm có toạ độ (4; 1).
Câu 8. Biểu thức P = y – x, với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình đạt giá trị lớn nhất là a và đạt giá trị nhỏ nhất là b. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A. và b = – 2;
B. a = 2 và ;
C. a = 3 và b = 0 ;
D. a = 3 và .
Đáp án đúng là: B
Ta vẽ đường thẳng d1: 2x + 3y – 6 = 0, đường thẳng d1 đi qua hai điểm (0; 2) và (3; 0)
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 3.0 – 6 = - 6 < 0, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình 2x + 3y – 6 ≤ 0, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d1 và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).
Ta vẽ đường thẳng d2: 2x – 3y – 1 = 0, đường thẳng d2 đi qua hai điểm và
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 – 3.0 – 1 = - 1 < 0, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình 2x – 3y – 1 ≤ 0, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d2 và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).
x ≥ 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).
Miền nghiệm là phần không bị gạch trong hình dưới đây (kể cả bờ).
Miền nghiệm là hình tam giác ABC (kể cả biên), với A(0; 2); , .
Ta có
P(x; y) = y – x suy ra P(0; 2) = 2 – 0 = 2;
P(x; y) = y – x suy ra P = ,
P(x; y) = y – x suy ra P =
Vậy giá trị lớn nhất của P là a = 2 và giá trị nhỏ nhất của P là .
Câu 9. Phần không bị gạch trong hình nào dưới đây biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta vẽ bốn đường thẳng d1: x – y = 2, đường thẳng d1 đi qua hai điểm (0; - 2) và (2; 0)
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 0 = 0 < 2, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình x – y ≤ 2, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d1 và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ)
Ta vẽ đường thẳng d2: 3x + 5y = 15 đường thẳng d2 đi qua hai điểm (0; 3) và (5; 0)
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 3.0 + 5.0 = 0 < 15, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình 3x + 5y ≤ 15, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d2 và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).
x ≥ 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).
y ≥ 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục hoành (kể cả trục hoành).
Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.
Câu 10. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = y – x trên miền xác định bởi hệ là
A. – 3;
B. 0;
C. – 2;
D. 8.
Đáp án đúng là: C
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
Ta vẽ đường thẳng d1: 2x + y = 2, đường thẳng d1 đi qua hai điểm (0; 2) và (1; 0)
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 0 = 0 < 2, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình 2x + y ≤ 2, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d1 và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).
Ta vẽ đường thẳng d2: x - y = 2, đường thẳng d1 đi qua hai điểm (0; - 2) và (2; 0)
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 - 0 = 0 < 2, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình x - y ≤ 2, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d1 và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).
Ta vẽ đường thẳng d3: 5x + y = - 4, đường thẳng d1 đi qua hai điểm (0; -4) và
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 5.0 + 0 = 0 > - 4, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình 5x + y ≥ - 4, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d1 và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).
Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.
Giá trị nhỏ nhất của biết thức F = y – x chỉ đạt được tại các điểm A(- 2; 6), ;
Ta có:
F(x; y) = y – x suy ra F(- 2; 6) = 6 – (– 2) = 8,
F(x; y) = y – x suy ra F = ,
F(x; y) = y – x suy ra F= .
Vậy giá trị nhỏ nhất biểu thức F = y – x = – 2.
Câu 11. Cho bất phương trình – x + 2 + 2(y – 2) < 2(1 – x). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
A. Điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho;
B. Điểm B(1; 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho;
C. Điểm C(4; 2) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho;
D. Điểm D(1; - 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Đáp án đúng là C
Ta có – x + 2 + 2(y – 2) < 2(1 – x) ⇔ x + 2y – 4 < 0
Xét đáp án A: Thay toạ độ điểm O(0; 0) vào bất phương trình ta có 0 + 2.0 – 4 = - 4 < 0, thoả mãn bất phương trình. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Khẳng định A đúng
Xét đáp án B: Thay toạ độ điểm B(1; 1) vào bất phương trình ta có 1 + 2.1 – 4 = - 1 < 0, thoả mãn bất phương trình. Vậy điểm B(1; 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Khẳng định B đúng
Xét đáp án C: Thay toạ độ điểm C(4; 2) vào bất phương trình ta có 4 + 2.2 – 4 = 4 > 0, không thoả mãn bất phương trình. Vậy điểm C(4; 2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Khẳng định C sai
Xét đáp án D: Thay toạ độ điểm D(1; -1) vào bất phương trình ta có 1 + 2.(- 1) – 4 = - 5 < 0, thoả mãn bất phương trình. Vậy điểm D(1; - 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Khẳng định D đúng
Câu 12. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2(y+3) ≥ 4(x + 1) – y + 3
A. (3; 0);
B. (3; 1);
C. (2; 1);
D. (0; 0).
Đáp án đúng là: C
Ta có 3x + 2(y+3) ≥ 4(x + 1) – y + 3 ⇔ - x + 3y – 1 ≥ 0
Xét đáp án A: Thay toạ độ điểm (3; 0) vào bất phương trình ta có - 3 + 3.0 – 1 = - 4 < 0, không thoả mãn bất phương trình. Vậy điểm (3; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Đáp án A sai
Xét đáp án B: Thay toạ độ điểm (3; 1) vào bất phương trình ta có - 3 + 3.1 – 1 = - 1 < 0, không thoả mãn bất phương trình. Vậy điểm (3; 1) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Đáp án B sai
Xét đáp án C: Thay toạ độ điểm (2; 1) vào bất phương trình ta có - 2 + 3.1 – 1 = 0, thoả mãn bất phương trình. Vậy điểm (2; 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Đáp án C đúng
Xét đáp án D: Thay toạ độ điểm (0; 0) vào bất phương trình ta có - 0 + 3.0 – 1 = - 1 < 0, không thoả mãn bất phương trình. Vậy điểm (0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Đáp án D sai
Câu 13. Phần không bị gạch chéo (không kể bờ) trong hình dưới đây biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
Đáp án đúng là: A
Giả sử phương trình đường thẳng d1 : y = ax + b
Dễ thấy đường thẳng d1 đi qua hai điểm (0 ; 1) và . Ta có hệ sau
. Vậy phương trình d1: y = - 2x +1 ⇔ 2x + y = 1
Xét điểm O(0 ;0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 0 = 0 < 1
Ta thấy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình vậy bất phương trình có dạng 2x + y < 1, (không kể bờ).
Giả sử phương trình đường thẳng d2 : y = ax + b
Dễ thấy đường thẳng d2 đi qua hai điểm (0 ; - 2) và (2; 0). Ta có hệ sau
. Vậy phương trình d2: y = x – 2 ⇔ - x + y = - 2
Xét điểm O(0 ;0) thay vào phương trình đường thẳng ta có - 0 + 0 = 0 > - 2
Ta thấy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình vậy bất phương trình có dạng - x + y > - 2⇔ x – y < 2, (không kể bờ).
Vậy hệ bất phương trình có dạng
Câu 14. Phần không bị gạch (kể cả bờ) trong hình dưới đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình
A. x – y > 1 ;
B. x – y ≥ 1;
C. x + y ≤ 1 ;
D. x + y ≥ 1.
Đáp án đúng là: C
Giả sử phương trình đường thẳng d1 : y = ax + b
Dễ thấy đường thẳng d1 đi qua hai điểm (0 ; 1) và (1; 0). Ta có hệ sau
vậy phương trình d1: y = - x +1 ⇔ x + y = 1
Xét điểm O(0 ;0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 = 0 < 1
Ta thấy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình, vậy bất phương trình có dạng x + y ≤ 1, (kể cả bờ).
Câu 15. Phần không bị gạch (không kể bờ) trong hình dưới đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình
A. x + 2y > 2 ;
B. x + 2y > 1 ;
C. x + 2y < 2 ;
D. x + 2y < 1.
Đáp án đúng là: A
Giả sử phương trình đường thẳng d1 : y = ax + b
Dễ thấy đường thẳng d1 đi qua hai điểm (0 ; 1) và (2; 0). Ta có hệ sau
vậy phương trình d1: y = x +1 ⇔ x + 2y = 2
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 2.0 = 0 < 2
Ta thấy điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình, vậy bất phương trình có dạng x + 2y > 2, (không kể bờ).
Câu 16. Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình
2x + y < 1
A. (– 2; 1);
B. (3; – 7);
C. (0; 1);
D. (0; 0).
Đáp án đúng là: C
Xét đáp án A: 2.( – 2) + 1 = – 3 < 1, đáp án A đúng.
Đáp án B: 2.3 + (– 7) = – 1 < 1, đáp án B đúng.
Đáp án C: 2.0 + 1 = 1, đáp án C sai.
Đáp án D: 2.0 + 0 = 0 < 1, đáp án D đúng.
Câu 17. Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình
x – 4y + 5 ≥ 0
A. (– 5; 0);
B. (– 2; 1);
C. (1; – 3);
D. (0; 0).
Đáp án đúng là: B
Xét đáp án A: – 5 – 4.0 + 5 = 0, vậy (– 5; 0) là nghiệm của bất phương trình, đáp án A sai.
Đáp án B: – 2 – 4.1 + 5 = – 1 < 0, vậy (– 2; 1) không là nghiệm của bất phương trình, đáp án B đúng.
Đáp án C: 1 – 4.( – 3) + 5 =18 > 0, vậy (1; – 3) là nghiệm của bất phương trình, đáp án C sai.
Đáp án D: 0 – 4.0 + 5 = 5 > 0, vậy (0; 0) là nghiệm của bất phương trình, đáp án D đúng.
Câu 18. Nửa mặt phẳng là miền nghiệm của bất phương trình – x + 2 + 2(y – 2) < 2(1 – x) không chứa điểm nào trong các điểm sau:
A. (0; 0);
B. (1; 1);
C. (4; 2);
D. (1; – 1).
Đáp án đúng là: C
Ta có: – x + 2 + 2(y – 2) < 2(1 – x) ⇔ – x + 2 + 2y – 4 < 2 – 2x ⇔ x + 2y < 4.
Xét đáp án A: 0 + 2.0 = 0 < 4, thoả mãn bất phương trình x + 2y < 4, vậy điểm (0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình, đáp án A sai.
Đáp án B: 1 + 2.1 = 3 < 4, thoả mãn bất phương trình x + 2y < 4, vậy điểm (1; 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình, đáp án B sai.
Đáp án C: 4 + 2.2 = 8 > 4, không thoả mãn bất phương trình x + 2y < 4, vậy điểm (4; 2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình, đáp án C đúng.
Đáp án D: 1 + 2.( – 1) = – 1 < 4, thoả mãn bất phương trình x + 2y < 4, vậy điểm (1; – 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình, đáp án D sai.
Câu 19. Điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
Hướng dẫngiải
Đáp án đúng là: C
Thay điểm O(0; 0) vào từng đáp án ta có :
Đáp án A, B sai vì 0 + 3.0 – 6 < 0 không thỏa mãn bất phương trình x + 3y – 6 > 0.
Đáp án D sai vì 2.0 + 0 + 4 > 0 không thỏa mãn bất phương trình 2x + y + 4 < 0.
Câu 20. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = y – x trên miền xác định bởi hệ: là:
A. min F(x; y) = 1 khi x = 2, y = 3;
B. min F(x; y) = 2 khi x = 0, y = 2;
C. min F(x; y) = 3 khi x = 1, y = 4;
D. min F(x; y) = 7 khi x = 6, y = – 1.
Đáp án Đúng là: A
Ta tìm miền nghiệm xác định bởi hệ
Vẽ đường thẳng d1: y – 2x = 2, đường thẳng d1 qua hai điểm (0; 2) và (– 1; 0).
Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 2.0 = 0 < 2.
Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D1 là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d1 chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.
Vẽ đường thẳng d2: 2y – x = 4, đường thẳng d2 qua hai điểm (0; 2) và (– 4; 0).
Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 – 0 = 0 < 4 không thoả mãn bất phương trình 2y – x ≥ 4.
Do đó điểm O(0; 0) không thuộc nềm nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D2 là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d2 không chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.
Vẽ đường thẳng d3: x + y = 5, đường thẳng d1 qua hai điểm (0; 5) và (5; 0).
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 = 0 < 5, thoả mãn bất phương trình x + y ≤ 5.
Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D3 là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d3 chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.
Miền nghiệm là phần không gạch chéo như hình vẽ.
Miền nghiệm của hệ là tam giác ABC với A(1; 4), B(0; 2), C(2; 3).
Ta tính giá trị của F(x; y) = y – x tại các giao điểm:
Tính F(x; y) = y – x suy ra F(1; 4) = 4 – 1 = 3.
Tính F(x; y) = y – x suy ra F(0; 2) = 2 – 0 = 2.
Tính F(x; y) = y – x suy ra F(2; 3) = 3 – 2 = 1.
Vậy min F(x; y) = 1 khi x = 2, y = 3.
Câu 21. Cặp số (1; – 1) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A. x + y – 3 > 0;
B. – x – y < 0;
C. x + 3y + 1< 0;
D. – x – 3y – 1 < 0.
Đáp án đúng là: C
Xét đáp án A: Thay cặp số (1; – 1) vào bất phương trình ta có 1 + (– 1) – 3 = – 3 < 0 không thoả mãn bất phương trình x + y – 3 > 0. Vậy đáp án A sai
Xét đáp án B: Thay cặp số (1; – 1) vào bất phương trình ta có – 1 – (– 1) = 0, không thoả mãn bất phương trình – x – y < 0. Đáp án B sai
Xét đáp án C: Thay cặp số (1; – 1) vào bất phương trình ta có 1 + 3.(– 1) + 1 = – 1 < 0 thoả mãn bất phương trình x + 3y + 1 < 0. Đáp án C đúng
Xét đáp án D: Thay cặp số (1; – 1) vào bất phương trình ta có – 1 – 3(– 1) – 1 = 1 > 0, không thoả mãn bất phương trình – x – 3y – 1 < 0. Đáp án D sai
Câu 22. Cho hệ . Gọi S1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), S2 là tập nghiệm của bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì
A. ;
B. ;
C. S2 = S;
D. S1 ≠ S.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
(d1): 2x + 3y = 5
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 3.0 = 0 < 5, thoả mãn bất phương trình 2x + 3y < 5. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo(không kể biên) của (d1)
Vẽ đường thẳng (d2): .
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có , thoả mãn bất phương trình . Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo(không kể biên) của (d2).
Miền nghiệm được biểu diễn trong hình dưới đây
Từ đồ thị biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta có ; S1 = S; S2 ≠ S. Vậy .
Câu 23. Giá trị lớn nhất của biết thức F(x; y) = x + 2y với điều kiện là
A. 6;
B. 8;
C. 10;
D. 12.
Đáp án đúng là: C
Vẽ đường thẳng d1: x – y – 1 = 0, đường thẳng d1 qua hai điểm (0; – 1) và (1; 0).
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 0 – 1= – 1 < 0. Thoả mãn bất phương trình x – y – 1 ≤ 0. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Do đó miền nghiệm D1 là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d1 chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.
Vẽ đường thẳng d2: x + 2y – 10 = 0, đường thẳng d2 qua hai điểm (0; 5) và (10; 0).
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 2.0 – 10 = – 10 < 0. Thoả mãn bất phương trình x + 2y – 10 ≤ 0. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Do đó miền nghiệm D2 là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d2 chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.
Vẽ đường thẳng d3: y = 4.
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 < 4. Thoả mãn bất phương trình 0 ≤ y ≤ 4. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Do đó miền nghiệm D3 là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d3 chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.
x ≥ 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).
y ≥ 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục hoành (kể cả trục hoành).
Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.
Miền nghiệm là ngũ giác ABCOE với A(4; 3), B(2; 4), C(0; 4), O(0; 0), E(1; 0).
Nhận thấy biểu thức F(x; y) = x + 2y chỉ đạt giá trị lớn nhất tại các điểm A, B, C, O; E.
F(x; y) = x + 2y suy ra F(4; 3) = 4 + 2.3 = 10;
F(x; y) = x + 2y suy ra F(0; 4) = 0 + 2.4 = 8;
F(x; y) = x + 2y suy ra F(2; 4) = 2 + 2.4 = 10;
F(x; y) = x + 2y suy ra F(1; 0) = 1 + 2.0 = 1;
F(x; y) = x + 2y suy ra F(0; 0) = 0 + 2.0 = 0.
Vậy giá trị lớn nhất của biết thức F(x; y) = x + 2y bằng 10.
Câu 24. Phần nữa mặt phẳng không bị gạch (không kể đường thẳng d) ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào?
A. 2x – y > – 2;
B. 2x + y > – 2;
C. x + 2y > 2;
D. x + 2y > – 2.
Đáp án đúng là: A
Giả sử đường thẳng (d) chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng có dạng:
y = ax + b. Dễ dàng nhận thấy đường thẳng (d) đi qua hai điểm có tọa độ là (– 1; 0) và (0; 2). Ta có hệ phương trình
⇒ y = 2x + 2
Vậy đường thẳng có phương trình – 2x + y = 2.
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có: – 2.0 + 0 = 0 < 2.
Vì O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy phần nửa mặt phẳng không bị gạch biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình – 2x + y < 2 ⇔ 2x – y > – 2
Đáp án A đúng.
Câu 25. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình
A. (0; 0);
B. (1; 0);
C. (0; – 2);
D. (0; 2).
Đáp án đúng là: C
Xét đáp án A ta có: đáp án A không thoả mãn hệ bất phương trình
Xét đáp án B ta có: đáp án B không thoả mãn hệ bất phương trình
Xét đáp án C ta có: đáp án C thoả mãn hệ bất phương trình
Xét đáp án D ta có: đáp án D không thoả mãn hệ bất phương trình
Vậy đáp án đúng là C
Câu 26. Phần nữa mặt phẳng không bị gạch (không kể đường thẳng d) ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào?
A. – x + 2y > 2;
B. 2x – y > – 4;
C. 2x – y > 2;
D. – x + 2y > – 4.
Đáp án đúng là: D
Giả sử đường thẳng (d) chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng có dạng:
y = ax + b. Dễ dàng nhận thấy đường thẳng (d) đi qua hai điểm có tọa độ là (4; 0) và (0; – 2). Ta có hệ phương trình
⇒ y = x – 2
Vậy đường thẳng có phương trình – x + 2y = – 4.
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có: – 0 + 2.0 = 0 > – 4.
Vì O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy phần nửa mặt phẳng không bị gạch biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình – x + 2y > – 4
Đáp án D đúng.
Câu 27. Phần không gạch chéo trong hình dưới đây (kể cả bờ) biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
Đáp án đúng là: B
Dễ thấy đường thẳng d1 đi qua hai điểm (0; 3) và (5; 0).
Giả sử d1 có phương trình y = ax + b. Ta có hệ
Vậy phương trình đường thẳng d1: 3x + 5y = 15. Điểm O(0; 0) thuộc vào miền nghiệm của hệ bất phương trình. Thay O(0; 0) vào phương trình đường thẳng ta có 3.0 + 5.0 = 0 < 15. Ta có bất phương trình 3x + 5y ≤ 15.
Dễ thấy đường thẳng d2 đi qua hai điểm (0; – 2) và (2; 0).
Giả sử d2 có phương trình y = ax + b. Ta có hệ
Vậy phương trình đường thẳng d2: y – x = – 2. Điểm O(0; 0) thuộc vào miền nghiệm của hệ bất phương trình. Thay O(0; 0) vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 0 = 0 > – 2. Ta có bất phương trình y – x ≥ – 2 ⇔ x – y ≤ 2.
Ta có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung) nên có bất phương trình x ≥ 0.
Phần không bị gạch biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình
Câu 28. Phần không bị gạch trong hình vẽ nào trong các hình sau biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình
A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng là: A
Vẽ đường thẳng d2: 2x – y + 2 = 0. Ta có đường thẳng đi qua hai điểm (0; 2) và (– 1; 0)
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 – 0 + 2 > 0 thoả mãn bất phương trình 2x – y + 2 > 0. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm là phần nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d2 và chứa gốc toạ độ O(0; 0).
Vẽ đường thẳng d1: x + y – 2 = 0. Ta có đường thẳng đi qua hai điểm (0; 2) và (2; 0)
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 – 2 < 0 thoả mãn bất phương trình x + y – 2 < 0. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm là phần nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d1 và chứa gốc toạ độ O(0; 0).
Vậy phần không bị gạch trong hình ở đáp án A biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình .
Câu 29. Miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là phần tô đậm của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau (kể cả bờ)?
A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng là: A
Xét đường thẳng x + y – 2 = 0 đi qua 2 điểm A(2; 0) và B(0; 2). Lấy điểm O(0; 0) ta có: 0 + 0 = 0 < 2. Vậy miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là phần tô đậm ở đáp án A.
Câu 30. Phần không bị gạch trong hình vẽ nào trong các hình sau biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình
A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng là: A
Vẽ đường thẳng d1 : x – 2y = 1, đường thẳng đi qua hai điểm và (1; 0).
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 2.0 = 0 < 1 thoả mãn bất phương trình x – 2y < 1. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d1 và chứa gốc toạ độ O(0; 0).
Vẽ đường thẳng d2: 2x – y + 2 = 0, đường thẳng đi qua hai điểm (0; 2) và (– 1; 0)
Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 – 0 + 2 > 0 thoả mãn bất phương trình 2x – y + 2 > 0. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm là phần nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d2 và chứa gốc toạ độ O(0; 0).
Vậy phần không bị gạch trong hình ở đáp án A biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình
Câu 1:
Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình: 2x + y < 1?
Biểu thức P = y – x, với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình đạt giá trị lớn nhất là a và đạt giá trị nhỏ nhất là b. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
Điền vào chỗ trống : “Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax + by < c được gọi là … của bất phương trình đó”.
Phần không bị gạch trong hình bên (không kể đường thẳng d1 và d2) biểu diễn miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình là:
Một người thợ được thuê làm một cái hồ bơi và một vườn hoa trên mảnh đất có diện tích là 200 m2 và phải để diện tích lối đi tối thiểu là 50 m2. Diện tích của hồ bơi và vườn hoa thỏa mãn các điều kiện trên lần lượt là:
Một hộ gia đình tính chi phí sử dụng đèn và máy lạnh trong nhà. Biết đèn sử dụng trong 1 giờ tốn 500 đồng và máy lạnh sử dụng trong 1 giờ tốn 1 nghìn đồng. Hỏi số giờ sử dụng đèn trong 1 ngày và số giờ sử dụng máy lạnh trong 1 ngày để tổng số tiền điện trong một tháng (30 ngày) ít hơn 1 triệu đồng lần lượt là bao nhiêu ? (Biết căn nhà có 3 cái đèn và 2 cái máy lạnh)
Một xưởng sản xuất sử dụng ba loại máy để sản xuất hai loại sản phẩm quần và áo. Để sản xuất 1 cái áo lãi 200 nghìn đồng người ta sử dụng máy I trong 1 giờ, máy II trong 2 giờ và máy III trong 3 giờ. Để sản xuất 1 cái quần lãi 300 nghìn đồng người ta sử dụng máy I trong 3 giờ, máy II trong 4 giờ mà máy III trong 2 giờ. Biết rằng máy I chỉ hoạt động không quá 50 giờ, máy II hoạt động không quá 70 giờ và máy III hoạt động không quá 48 giờ. Hỏi phải sản xuất bao nhiêu quần và áo để xưởng sản xuất đạt mức lãi cao nhất ?