Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Lấy điểm C tùy ý trên cung AB sao cho AB < AC
Câu hỏi:
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Lấy điểm C tùy ý trên cung AB sao cho AB < AC.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông.
b) Qua A vẽ tiếp tuyến (d) với đường tròn (O), BC cắt (d) tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến (d’) với đường tròn (O), (d’) cắt (d) tại D. Chứng minh : DA = DF.
c) Hạ CH vuông góc AB (H thuộc AB), BD cắt CH tại K. Chứng minh K là trung điểm CH.
d) Tia AK cắt DC tại E. Chứng minh EB là tiếp tuyến của (O)
Trả lời:
a) \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ΔABC ⊥ C
b) \(\widehat {DCA} = \widehat {CBA}\)
⇒ \(\widehat {DFC} = \widehat {DCF}\) (cùng phụ với 2 góc bằng nhau \(\widehat {FBC} = \widehat {DCA}\))
⇒ ΔDCF cân đỉnh D
⇒ DF = DC (1)
DC = DA (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Từ (1) và (2) suy ra DF = DA.
c) Ta có: KH // AD theo định lý Ta–lét ta có:
\(\frac{{HK}}{{AD}} = \frac{{BK}}{{BD}}\)
CK // DF ⇒ \(\frac{{CK}}{{DF}} = \frac{{BK}}{{BD}}\)
Suy ra: \(\frac{{HK}}{{AD}} = \frac{{CK}}{{DF}}\)
Mà AD = DF ⇒ HK = KC hay K là trung điểm cạnh HC.
d) Ta có: \(\frac{{CK}}{{AD}} = \frac{{EK}}{{EA}}\) (do CK // AD)
\(\frac{{KH}}{{AD}} = \frac{{BK}}{{BD}}\) (do HK // AD)
Mà CK = HK
⇒ \(\frac{{EK}}{{EA}} = \frac{{BK}}{{BD}}\)
⇒ \(\frac{{EK}}{{EA - EK}} = \frac{{BK}}{{BD - BK}}\)
⇒ \(\frac{{EK}}{{AK}} = \frac{{BK}}{{DK}}\)
⇒ \(\frac{{EK}}{{BK}} = \frac{{AK}}{{DK}}\)
⇒ EB // AD (định lý Ta–lét đảo)
Mà AD ⊥ AB ⇒ BE ⊥ AB
⇒ EB là tiếp tuyến của (O).
