Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = 2xyz
Câu hỏi:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = 2xyz.
Trả lời:
Ta có: x + y + z = xyz (1)
Chia hai vế của (1) cho xyz ≠ 0 ta được:
\(\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}} = 1\)
Giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 1 ta có:
\(1 = \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}} \le \frac{1}{{{z^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \frac{3}{{{z^2}}}\)
Suy ra: z2 ≤ 3
Suy ra: z = 1.
Thay z = 1 vào (1) ta được:
x + y + z = xy
⇔ xy – x – y = 1
⇔ x(y – 1) – (y – 1) = 2
⇔ (y – 1)(x – 1) = 2
Mà x – 1 ≥ y – 1 nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}y - 1 = 1\\x - 1 = 2\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 3\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm nguyên dương là hoán vị của {1,2,3}.
