Biết rằng limx đến 0 sin x/x = 1. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f( x ) = 1 + cos x/( x - pi)^2, x khác pi; m x = pi liên tục tại x = π. A. m = pi /2. B. m =  - pi /2. C. m = 1/

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ ℝ.

Điều kiện của bài toán trở thành:

$m = f\left( \pi \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{1 + \cos x}}{{{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}}$.

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{2{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right)}}{{{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{\frac{1}{4}.2{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right)}}{{\frac{1}{4}.{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{\frac{1}{2}{{\sin }^2}\left( {\frac{{x - \pi }}{2}} \right)}}{{{{\left( {\frac{{x - \pi }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } {\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{x - \pi }}{2}} \right)}}{{\left( {\frac{{x - \pi }}{2}} \right)}}} \right]^2}$ (*)

Đặt $t = \frac{{x - \pi }}{2} \to 0$ khi x → π.

Khi đó (*) trở thành: $m = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } {\left( {\frac{{\sin t}}{t}} \right)^2} = \frac{1}{2}{.1^2} = \frac{1}{2}$.

Vậy $m = \frac{1}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án C.