c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AM tại I, cắt AB tại K. Chứng minh C là trung điểm của IK.

c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AM tại I, cắt AB tại K. Chứng minh C là trung điểm của IK.

c) Gọi E là giao điểm của MD và AB.

Xét ∆MCH và ∆MOD, có:

$\widehat{CMH}$ chung;

$\frac{MC}{MO}=\frac{MH}{MD}$ (MC.MD = MH.MO).

Do đó  $\Delta MCH\backsim \Delta MOD$ (g.g).

Suy ra $\widehat{MHC}=\widehat{MDO}$  (cặp góc tương ứng)   (5)

Vì vậy tứ giác DCHO nội tiếp đường tròn.

Do đó  $\widehat{DHO}=\widehat{DCO}$(cùng chắn $\stackrel{⏜}{DO}$ )   (6)

Ta có OC = OD = R.

Suy ra ∆OCD cân tại O.

Do đó  $\widehat{OCD}=\widehat{ODC}$ (7)

Từ (5), (6), (7), suy ra $\widehat{DHO}=\widehat{MHC}$  .

Mà  $\widehat{DHO}+\widehat{DHA}=90°$ và $\widehat{MHC}+\widehat{AHC}=90°$ .

Suy ra $\widehat{DHA}=\widehat{AHC}$

Do đó HA là đường phân giác trong của ∆CDH.

Lại có AH ⊥ HM tại H.

Suy ra HM là đường phân giác ngoài của ∆CDH.

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được   $\frac{EC}{ED}=\frac{MC}{MD}=\frac{HC}{HD}$  (8)

Ta lại có IK // AD (giả thiết).

Áp dụng định lí Thales, ta được $\frac{CI}{AD}=\frac{MC}{MD}$  và   $\frac{CK}{AD}=\frac{EC}{ED}$   (9)

Từ (8), (9), suy ra $\frac{CI}{AD}=\frac{CK}{AD}$

Do đó CI = CK.

Vậy C là trung điểm của IK.