Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}$.

Ta có: a + 2b + 3 = (a + b) + (b + 1) + 2

$\ge 2\sqrt {ab} + 2\sqrt b + 2$

$\Rightarrow \frac{1}{{a + 2b + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt b + 1} \right)}}$

Làm tương tự như vậy, ta lại có:

$\frac{1}{{b + 2c + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {bc} + \sqrt c + 1} \right)}};\;\frac{1}{{c + 2a + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ca} + \sqrt a + 1} \right)}}$

Từ đó suy ra:

$\le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt b + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {\sqrt {bc} + \sqrt c + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ca} + \sqrt a + 1} \right)}}$

Bởi vì $abc = 1 \Rightarrow \sqrt {abc} = 1$

$\Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {ab} + \sqrt b + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {ca} + \sqrt a + 1}}} \right)$

$\Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt {abc} }}{{\sqrt {ab} + \sqrt b \,.\,\sqrt {abc} + \sqrt {abc} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{{\sqrt {abc} }}{{\sqrt {ca} + \sqrt a + \sqrt {abc} }}} \right)$

$\Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt c }}{{1 + \sqrt {bc} + \sqrt c }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{{\sqrt {bc} }}{{\sqrt c + 1 + \sqrt {bc} }}} \right)$

$\Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt c + 1 + \sqrt {bc} }}{{1 + \sqrt {bc} + \sqrt c }}} \right) = \frac{1}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Vậy GTLN của P là $\frac{1}{2}$ khi a = b = c = 1.