Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = xyz. Chứng minh rằng

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = xyz. Chứng minh rằng:

\(\sqrt {x + yz} + \sqrt {y + x{\rm{z}}} + \sqrt {z + xy} \ge \sqrt {xyz} + \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \).

Đặt \(a = \frac{1}{x};b = \frac{1}{y};c = \frac{1}{z}\)

Suy ra a, b, c > 0 và \(a + b + c = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{{yz + x{\rm{z}} + xy}}{{xyz}} = 1\)

Khi đó \(\sqrt {x + yz} + \sqrt {y + x{\rm{z}}} + \sqrt {z + xy} \ge \sqrt {xyz} + \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {\frac{1}{a} + \frac{1}{{bc}}} + \sqrt {\frac{1}{b} + \frac{1}{{ac}}} + \sqrt {\frac{1}{c} + \frac{1}{{ab}}} \ge \sqrt {\frac{1}{{abc}}} + \sqrt {\frac{1}{a}} + \sqrt {\frac{1}{b}} + \sqrt {\frac{1}{c}} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {a + bc} + \sqrt {b + ac} + \sqrt {c + ab} \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ac} + 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {a + bc} = \sqrt {a(a + b + c) + bc} = \sqrt {{a^2} + a(b + c) + bc} \ge \sqrt {{a^2} + 2a\sqrt {bc} + bc} \\ \Rightarrow \sqrt {a + bc} \ge \sqrt {{{(a + \sqrt {bc} )}^2}} = a + \sqrt {bc} \end{array}\)

Chứng minh tương tự:

\(\begin{array}{l}\sqrt {b + ac} \ge b + \sqrt {ac} ;\\\sqrt {c + ab} \ge c + \sqrt {ab} \end{array}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

\(\sqrt {a + bc} + \sqrt {b + ac} + \sqrt {c + ab} \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ac} + a + b + c\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {a + bc} + \sqrt {b + ac} + \sqrt {c + ab} \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ac} + 1\)

Suy ra \(\sqrt {x + yz} + \sqrt {y + x{\rm{z}}} + \sqrt {z + xy} \ge \sqrt {xyz} + \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \)

Dấu “ = ” xảy ra khi \(a = b = c = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = y = z = 3\)

Vậy \(\sqrt {x + yz} + \sqrt {y + x{\rm{z}}} + \sqrt {z + xy} \ge \sqrt {xyz} + \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \).