Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 – 4x + 3 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = x2 + y2.
Câu hỏi:
Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 – 4x + 3 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = x2 + y2.
Trả lời:
Ta có x2 + y2 – 4x + 3 = 0.
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 – 1 = 0.
⇔ (x – 2)2 + y2 = 1 (*)
Đặt
Khi đó (*) tương đương với: a2 + b2 = 1.
⇔ a2 = 1 – b2 ≤ 1.
⇔ –1 ≤ a ≤ 1.
Ta có M = (a + 2)2 + b2 = a2 + b2 + 4a + 4.
= 1 + 4a + 4 = 5 + 4a.
Ta có –1 ≤ a ≤ 1.
⇔ –4 ≤ 4a ≤ 4.
⇔ 1 ≤ 4a + 5 ≤ 9.
⇔ 1 ≤ M ≤ 9.
Dấu “=” xảy ra
Với a = 1, ta có: b2 = 1 – a2 = 0 ⇔ b = 0.
Với a = 1, b = 0, ta có: x = 3, y = 0.
Với a = –1, ta có: b2 = 0 ⇔ b = 0.
Với a = –1, b = 0, ta có: x = 1, y = 0.
Vậy Mmax = 9 khi và chỉ khi (x, y) = (3; 0) và Mmin = 1 khi và chỉ khi (x; y) = (1; 0).
Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:
Câu 1:
Một đơn vị bộ đội dự trữ gạo đủ cho 150 người ăn trong 20 ngày. Nhưng sau đó lại có thêm một số bộ đội chuyển đến nên số ngày ăn hết số gạo dự trữ giảm đi 8 ngày. Hỏi có bao nhiêu bộ đội mới chuyển đến?
Xem lời giải »
Câu 2:
Mùng 1 tháng 1 năm 2015 là thứ 5. Hỏi ngày mùng 1 tháng 1 năm 2016 là thứ mấy?
Xem lời giải »
Câu 3:
Số bị chia hơn số chia 60 đơn vị. Nếu giảm số chia đi một nửa thì thương mới là 32. Tìm số bị chia và số chia lúc đầu.
Xem lời giải »
Câu 4:
Tuổi của An trước đây 3 năm bằng tuổi của An sau 3 năm nữa. Tính tuổi của An hiện nay.
Xem lời giải »
Câu 5:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ đường tròn tâm K đường kính OB.
a) Chứng tỏ hai đường tròn (O) và (K) tiếp xúc nhau.
Xem lời giải »
Câu 6:
b) Vẽ dây BD của đường tròn (O) (BD khác đường kính), dây BD cắt đường tròn (K) tại M. Chứng minh KM // OD.
Xem lời giải »
Câu 7:
Cho tam giác ABC vuông tại A, . Chứng minh rằng
Xem lời giải »
Câu 8:
Các học sinh của một lớp học gồm 45 nam và 35 nữ được xếp ra thành một hàng ngang. Chứng minh rằng trong hàng đó luôn tìm được hai học sinh nam mà ở giữa họ có 8 người đứng xen vào.
Xem lời giải »
