Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn
Câu hỏi:
Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn
Trả lời:
Gọi A1, A2,..., A2018 là các đỉnh của đa giác đều 2018 đỉnh.
Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều A1A2...A2018.
Các đỉnh của đa giác đều chia (O) thành 2018 cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng
Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của (O).
Suy ra góc lớn hơn sẽ chắn cung có số đo lớn hơn
Cố định một đỉnh Ai. Có 2018 cách chọn Ai.
Gọi Ai, Aj, Ak là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho số đo cung nhỏ AiAk < thì số đo cùng lớn AiAk >
⇒ và tam giác AiAjAk là tam giác cần đếm.
Khi đó cung AiAk là hợp liên tiếp của nhiều nhất cung tròn nói trên.
896 cung tròn này có 897 đỉnh. Trừ đi đỉnh Ai thì còn 896 đỉnh.
Do đó có cách chọn hai đỉnh Aj, Ak.
Vậy có tất cả tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
