Cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về 1 phía AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Lấy C trên Ax, D trên By sao cho góc COD = 90^0 a) Chứng minh rằng: b) Chứng minh rằng: C
Câu hỏi:
Cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về 1 phía AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Lấy C trên Ax, D trên By sao cho ^COD=90∘
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng: CD = AC + BD
c) Kẻ OM ⊥ CD tại M, gọi N là giao điểm của AD với BC. Chứng minh rằng MN // AC.
Trả lời:
Lời giải
a) Vì tam giác ACO vuông tại A
Nên ^AOC+^ACO=90∘ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Ta có: ^AOC+^CDO+^DOB=180∘
Hay ^AOC+^DOB=180∘−^CDO=180∘−90∘=90∘
Suy ra ^BOD=^ACO
Xét ∆ACO và ∆BDO có
^CAO=^DBO(=90∘)
^BOD=^ACO (Chứng minh trên)
Suy ra (g.g)
b) Gọi E là giao điểm của CO và BD
Xét ∆ACO và ∆BEO có
^CAO=^EBO(=90∘)
AO = BO (giả thiết)
^BOE=^AOC (hai góc đối đỉnh)
Suy ra ∆ACO và ∆BEO (g.c.g)
Do đó AC = BE, CO = OE (các cặp cạnh tương ứng)
Xét ∆COD và ∆EOD có
OD là cạnh chung;
^COD=^EOD(=90∘);
CO = OE (chứng minh trên)
Suy ra ∆COD và ∆EOD (c.g.c)
Do đó CD = DE (hai cạnh tương ứng)
Ta có CD = DE = BD + BE = BD + AC
Vậy CD = AC + BD
c) Ta có AC ⊥ AB và DB ⊥ AB
Suy ra AC // BD
Do đó ^CAN=^NDB (hai góc so le trong)
Xét ∆ANC và ∆DNB có
^ANC=^BND (hai góc đối đỉnh)
^CAN=^NDB (Chứng minh trên)
Suy ra (g.g)
Do đó ANND=ACBD
Mà AC = BE nên ANND=BEBD
Ta có DC = DE (chứng minh câu a)
Suy ra tam giác DCE cân ở D
Mà DO là đường cao
Nên DO là phân giác của ^CDE
Suy ra ^CDO=^ODE
Xét ∆MOD và ∆BOD có
^DMO=^DBO(=90∘)
OD là cạnh chung
^MDO=^ODB (chứng minh trên)
Suy ra ∆MOD = ∆BOD (cạnh huyền – góc nhọn)
Do đó MD = BD, OM = OB
Mà OB = OA nên OM = OA
Xét ∆MOC và ∆AOC có
^CMO=^CAO(=90∘)
OC là cạnh chung
OM = OA (chứng minh trên)
Suy ra ∆MOC = ∆AOC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Do đó MC = AC
Khi đó: ANND=BEBD=ACBD=CMDM
Suy ra MN // AC (định lí Talet đảo)
Vậy MN // AC.
