Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R

Câu hỏi:

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và $f\left(1\right)=1$. Đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số $y=\left|4f\left(\sin x\right)+\cos 2x-a\right|$ nghịch biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$?

A. 2

B. 3

C. Vô số

D. 5

Trả lời:

Ta có: $y=\left|4f\left(\sin x\right)+\cos 2x-a\right|$

$y=\left|4f\left(\sin x\right)+1-2{\sin }^{2}x-a\right|$

Đặt $t=\sin x$, với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thì  $t\in \left(0;1\right)$

Khi đó hàm số trở thành  $y=\left|4f\left(t\right)+1-2t^2-a\right|=\sqrt{{\left[4f\left(t\right)+1-2t^2-a\right]}^2}$

Để hàm số nghịch biến trên $\left(0;1\right)$ thì  $y\text{'}<0,\forall t\in \left(0;1\right)$

$y\text{'}=\frac{\left[4f\text{'}\left(t\right)-4t\right].\left[4f\left(t\right)+1-2t^2-a\right]}{\sqrt{{\left[4f\left(t\right)+1-2t^2-a\right]}^2}}<0\forall t\in \left(0;1\right)$

$\iff \left[f\text{'}\left(t\right)-t\right].\left[4f\left(t\right)+1-2t^2-a\right]<0,\forall t\in \left(0;1\right)(*)$

Vẽ đồ thị hàm số y = f ' (t) và y = t trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trên (0;1) đường thẳng y = t luôn nằm phải trên đồ thị hàm số y = f ' (t), do đó

$f\text{'}\left(t\right)-1<0,\forall t\in \left(0;1\right)$

$\left(*\right)\iff 4f\left(t\right)+1-2t^2-a>0\forall t\in \left(0;1\right)$

$\iff a<4f\left(t\right)-2t^2+1,\forall t\in \left(0;1\right)$

Đặt 

Ta có:  $g\text{'}\left(t\right)=4f\text{'}\left(t\right)-4t<0\forall t\in \left(0;1\right)$

=> hàm số g (t) nghịch biến trên (0;1), do đó  

$\Rightarrow a\le 3$. Mà a là số nguyên dương  $\Rightarrow a\in \left\{1;2;3\right\}$

Vậy có 3 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án cần chọn là: B