Cho (O; R) và (O; R') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ dây cung AM của (O) và dây cung AN của (O')

Câu hỏi:

Cho (O; R) và (O; R') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ dây cung AM của (O) và dây cung AN của (O') sao cho AM vuông góc với AN. Chứng minh:

a) OM song song O'N;

b) Xác định vị trí của AM và AN để diện tích tứ giác OMNO' lớn nhất.

Trả lời:

Media VietJack

Xét ∆MAN vuông tại A có: $\hat{A M N} + \hat{A N M}$ = 90° (1)

Và $\hat{M A O} + \hat{N A O'}$ = 90° = 180° − $\hat{M A O}$ = 180° − 90° = 90° (2)

Lại có: ∆OMA cân tại O (OA = OM = R) ⇒ $\hat{O A M} = \hat{O M A}$ (3)

∆O’NA cân tại O (O’A = O’N = R’) ⇒ $\hat{O' A N} = \hat{O' N A}$ (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: $\hat{O M N} + \hat{M N O'} = (\hat{O M A} + \hat{A M N}) + (\hat{A N M} + \hat{O' N A})$

= $\hat{O M A} + \hat{A M N} + \hat{A N M} + \hat{O' N A}$

= $\hat{O M A} + \hat{A M N} + \hat{A N M} + \hat{O' A N}$

= $(\hat{O M A} + \hat{O' A N}) + (\hat{A M N} + \hat{A N M})$

= 90° + 90° = 180°

Tứ giác OMNO’ có $\hat{O M N} + \hat{M N O'} = 180 °$ nên MN // O’N.

b) Từ O’ kẻ O’H ⊥ OM. Khi đó: $S_{O M N O'} = \frac{(O' N + O M) . O' H}{2} = \frac{(R' + R) . O' H}{2} \leq \frac{(R' + R) . O' O}{2} = \frac{{(R' + R)}^{2}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi O’H = O’O hay H ≡ O ⇒ O’O ⊥ MO hoặc O’O ⊥ O’N

Vậy tứ giác MNO’O có diện tích lớn nhất là $\frac{{(R' + R)}^{2}}{2}$ khi O’O ⊥ MO hoặc O’O ⊥ O’N.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Giải phương trình: (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = 120.

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: $\vec{B M} + \vec{C N} + \vec{A P} = 0$ .

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho ABC vuông tại A có AB < AC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC. Trên tia đối của tia DE lấy điểm F sao cho D là trung điểm của cạnh EF.

a) Chứng minh tứ giác BFCE là hình bình hành.

b) Chứng minh tứ giác BFEA là hình chữ nhật.

c) Gọi K là điểm đối xứng với F qua E. Chứng minh tứ giác AFCK là hình thoi.

d) Vẽ AH ⊥ BC tại H. Gọi M là trung điểm của HC. Chứng minh FM ⊥ AM.

Xem lời giải »

Câu 4:

Có 3 bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 và 3 con tem giống nhau lần lượt đánh số thứ tự từ 1 đến 3. Dán 3 con tem đó vào 3 bì thư sao cho không có bì thư nào không có tem. Tính xác suất để lấy ra được 2 bì thư trong 3 bì thư trên sao cho mỗi bì thư đều có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó

Xem lời giải »

Câu 5:

Tìm góc α ∈ $\{\frac{π}{6}; \frac{π}{4}; \frac{π}{3}; \frac{π}{2}\}$ để phương trình cos2x + $\sqrt{3}$ sin2x – 2cosx = 0 tương đương với phương trình cos(2x – α) = cosx.