Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của: $P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}.$

Vì x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz

Nên $\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{x{\rm{z}}}} = 1$

Ta có:

$\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{z{\rm{x}}}} + {x^2}} }} \le \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^2}y}}{{xyz}}} }} \le \frac{1}{2}$

$\frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{z{\rm{x}}}} + {y^2}} }} \le \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{y^2}z}}{{xyz}}} }} \le \frac{1}{2}$

$\frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{z{\rm{x}}}} + {z^2}} }} \le \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{z^2}x}}{{xyz}}} }} \le \frac{1}{2}$

Suy ra $\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Hay $P \le \frac{3}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1

Vậy giá trị lớn nhất của P là $\frac{3}{2}$ khi x = y = z = 1.