Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Tìm giá
Câu hỏi:
Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của: \(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}.\)
Trả lời:
Vì x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz
Nên \(\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{x{\rm{z}}}} = 1\)
Ta có:
\(\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{z{\rm{x}}}} + {x^2}} }} \le \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^2}y}}{{xyz}}} }} \le \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{z{\rm{x}}}} + {y^2}} }} \le \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{y^2}z}}{{xyz}}} }} \le \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{z{\rm{x}}}} + {z^2}} }} \le \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{z^2}x}}{{xyz}}} }} \le \frac{1}{2}\)
Suy ra \(\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\)
Hay \(P \le \frac{3}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\frac{3}{2}\) khi x = y = z = 1.
