Chứng minh rằng a^4 + b^4 + c^4 > = abc(a + b + c)

Chứng minh rằng a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ abc(a + b + c).

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 4 số ta có:

${a^4} + {a^4} + {b^4} + {c^4} \ge 4\sqrt[4]{{{a^4}.{a^4}.{b^4}.{c^4}}} = 4{{\rm{a}}^2}bc$

${a^4} + {b^4} + {b^4} + {c^4} \ge 4\sqrt[4]{{{a^4}.{b^4}.{b^4}.{c^4}}} = 4{\rm{a}}{b^2}c$

${a^4} + {b^4} + {c^4} + {c^4} \ge 4\sqrt[4]{{{a^4}.{b^4}.{c^4}.{c^4}}} = 4{\rm{a}}b{c^2}$

Cộng vế của các bất đẳng thức ta có:

4(a⁴ + b⁴ + c⁴) ≥ 4(a²bc + ab²c + abc²)

⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ abc(a + b + c)

Vậy a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ abc(a + b + c).