Chứng minh rằng a^4 + b^4 + c^4 > = abc(a + b + c)
Câu hỏi:
Chứng minh rằng a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c).
Trả lời:
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 4 số ta có:
\({a^4} + {a^4} + {b^4} + {c^4} \ge 4\sqrt[4]{{{a^4}.{a^4}.{b^4}.{c^4}}} = 4{{\rm{a}}^2}bc\)
\({a^4} + {b^4} + {b^4} + {c^4} \ge 4\sqrt[4]{{{a^4}.{b^4}.{b^4}.{c^4}}} = 4{\rm{a}}{b^2}c\)
\({a^4} + {b^4} + {c^4} + {c^4} \ge 4\sqrt[4]{{{a^4}.{b^4}.{c^4}.{c^4}}} = 4{\rm{a}}b{c^2}\)
Cộng vế của các bất đẳng thức ta có:
4(a4 + b4 + c4) ≥ 4(a2bc + ab2c + abc2)
⇔ a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c)
Vậy a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c).
