Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin^2 x + 2sin xcos x - cos^2 x = 0

Gọi x₀ là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin² x + 2sin xcos x − cos² x = 0. Chọn khẳng định đúng.

A. ${x_0} \in \left( {\frac{\pi }{2};\;\pi } \right)$;

B. ${x_0} \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};\;2\pi } \right)$;

C. ${x_0} \in \left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)$;

D. ${x_0} \in \left( {\pi ;\;\frac{{3\pi }}{2}} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình 3sin² x + 2sin xcos x − cos² x = 0 (*)

• cos x = 0 Þ sin² x = 1 không là nghiệm của phương trình (*)

• cos x ≠ 0. Ta chia 2 vế của phương trình (*) cho cos² x thì

3sin² x + 2sin xcos x − cos² x = 0

$\Leftrightarrow \frac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{2\sin x}}{{\cos x}} - 1 = 0$

Û 3tan² x + 2tan x − 1 = 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\tan x = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là $x = \arctan \frac{1}{3} \in \left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)$.

Chọn đáp án C.