Xét tất cả các số thực x, y sao cho a^4x-log 5 x^2 bé hơn bằng 25^40-y^2 đúng với mọi số thực dương a.

Câu hỏi:

Xét tất cả các số thực x, y sao cho $a^{4 x - \log_{5} x^{2}} \leq 25^{40 - y^{2}}$ đúng với mọi số thực dương a. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = x² + y² + x – 3y bằng:

Trả lời:

Ta có:

$a^{4 x - \log_{5} x^{2}} \leq 25^{40 - y^{2}}$

⇔ $\log_{5} a^{4 x - \log_{5} a^{2}} \leq \log_{5} 25^{40 - y^{2}}$

⇔ $(4 x - 2 \log_{5} a) \log_{5} \leq 2 (40 - y^{2})$

⇔ $\log_{5}^{2} a - 2 x \log_{5} a + 40 - y^{2} \geq 0$ (*)

Coi (*) là phương trình bậc hai ẩn log₅a

Để (*) đúng với mọi số thực dương a thì:

∆' ≤ 0 ⇔ x² – (40 – y²) ≤ 0 ⇔ x² + y² – 40 ≤ 0 (1)

Ta có biểu thức (1) là hình tròn (C₁) tâm O(0;0), bán kình R₁ = $2 \sqrt{10}$

Mặt khác P = x² + y² + x – 3y ⇔ x² + y² + x – 3y – P = 0 là phương trình đường trogn (C₂) tâm I $(\frac{- 1}{2}; \frac{3}{2})$ , bán kính R₂ = $\frac{1}{2} \sqrt{10 + 4 P}$

Media VietJack

Để tồn tại điểm chung của đường tròn (C₁) và (C₂) thì:

R₂ ≤ R₁ + OI ⇔ $\frac{1}{2} \sqrt{10 + 4 P}$ ≤ $2 \sqrt{10}$ + $\frac{1}{2} \sqrt{10}$

⇔ $\sqrt{10 + 4 P} \leq 5 \sqrt{10}$ ⇔ P ≤ 60.

Vậy P_max= 60.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Giải phương trình: (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = 120.

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: $\vec{B M} + \vec{C N} + \vec{A P} = 0$ .

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho ABC vuông tại A có AB < AC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC. Trên tia đối của tia DE lấy điểm F sao cho D là trung điểm của cạnh EF.

a) Chứng minh tứ giác BFCE là hình bình hành.

b) Chứng minh tứ giác BFEA là hình chữ nhật.

c) Gọi K là điểm đối xứng với F qua E. Chứng minh tứ giác AFCK là hình thoi.

d) Vẽ AH ⊥ BC tại H. Gọi M là trung điểm của HC. Chứng minh FM ⊥ AM.

Xem lời giải »

Câu 4:

Có 3 bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 và 3 con tem giống nhau lần lượt đánh số thứ tự từ 1 đến 3. Dán 3 con tem đó vào 3 bì thư sao cho không có bì thư nào không có tem. Tính xác suất để lấy ra được 2 bì thư trong 3 bì thư trên sao cho mỗi bì thư đều có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó

Xem lời giải »

Câu 5:

Ba ban Lâm, Chí, Dũng có 60 cây bút và số bút tỉ lệ với 3, 4, 5. Tính số bút của mỗi bạn.

Xem lời giải »

Câu 6:

Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos2x + 1 = 0.

Xem lời giải »

Câu 7:

Bán kính của một bánh xe ô tô là 0,25m. Tính chu vi bánh xe đó. Nếu ô tô đó đi hết quãng đường dài 4,71km thì bánh xe lăn trên mặt đất được bao nhiêu vòng?

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số y = f(2 – x) nghịch biến trên khoảng nào?

Media VietJack

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Xét tất cả các số thực x, y sao cho a^4x-log 5 x^2 bé hơn bằng 25^40-y^2 đúng với mọi số thực dương a.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: