Cho 0 < x < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x/1-x+4/x

Giải phương trình: (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = 120.

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AP}=0$ .

Cho ABC vuông tại A có AB < AC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC. Trên tia đối của tia DE lấy điểm F sao cho D là trung điểm của cạnh EF.

a) Chứng minh tứ giác BFCE là hình bình hành.

b) Chứng minh tứ giác BFEA là hình chữ nhật.

c) Gọi K là điểm đối xứng với F qua E. Chứng minh tứ giác AFCK là hình thoi.

d) Vẽ AH ⊥ BC tại H. Gọi M là trung điểm của HC. Chứng minh FM ⊥ AM.

Cho A = $\frac{3}{2^2}+\frac{8}{3^2}+\frac{15}{4^2}+\mathrm{...}+\frac{{2023}^2-1}{{2023}^2}$  . Chứng minh A có giá trị không phải là một số tự nhiên.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD // BC và AD = 2BC. Lấy M trên cạnh SA sao cho MA = 2MS.

a) Chứng minh OM // (SCD).

b) Xác định giao điểm N của MD và mặt phẳng (SBC).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông bằng cạnh bằng a, tam giác SAB là tam giác đều, SC = SD = $a\sqrt{2}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD?

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos2α + 3tan2α.